Элементы теории. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных

Quot; Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных

уравнений первого порядка"

Элементы теории

Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид:

. (1)

Решением дифференциального уравнения (1) называется функция j(x), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество . График решения y=j(x) называется интегральной кривой. Например, решением уравнения является функция j(x)=Се^х при любом значении произвольной постоянной С.

Задача Коши для дифференциального уравнения (1) состоит в том, чтобы найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию:

. (2)

Пару чисел (x₀, y₀ ) называют начальными данными. Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1) при условии (2). Например, частным решением задачи Коши:

является функция j(x)=е^х.

Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку (x₀, y₀ ).

Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция f(x, у) – правая часть дифференциального уравнения (1) – непрерывна вместе со своей частной производной по переменной у в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных (x₀, y₀ )Î D задача Коши (1)-(2) имеет единственное решение y=j(x).

При выполнении условий теоремы через точку (x₀, y₀ ) на плоскости проходит единственная интегральная кривая.

Численное решение задачи Коши (1)-(2) состоит в том, чтобы получить искомое решение j(x) в виде таблицы его приближенных значений для заданных значений аргумента х на некотором отрезке [ a, b ]:

x₀ = a, x₁, x₂ , …, x_m = b. (3)

Точки (3) называются узловыми точками, а множество этих точек называют сеткой на отрезке [ a, b ]. Будем использовать равномерную сетку с шагом h: h = (b – a)/m, x_i – x_i-1 = h или, x_i = x₀ + ih, i = 1, …, m. Приближенные значения численного решения задачи Коши в узловых точках x_i обозначим через у_i: у_i = j(x_i), i = 1, …, m. Для любого численного метода решения задачи Коши начальное условие (2) выполняется точно, то есть
y₀ =j(x₀).

Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка [ a, b ] оценивается величиной:

,

то есть расстоянием между векторами приближенного решения
(у₀ , у₁ , …, у_ь ) и точного решения (j(x₀), j(x₁), …, j(x_m)) на сетке по m -норме. Говорят. что численный метод имеет р -й порядок точности по шагу h на сетке, если расстояние d можно представить в виде степенной функции от h:

d = Ch ^p, p > 0,

где С – некоторая положительная постоянная, зависящая от правой части уравнения (1) и от рассматриваемого метода. Очевидно, что когда шаг h стремится к нулю, погрешность d также стремится к нулю.

Простейшим численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера. Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке Р₀(х₀ , у₀ ) есть

.

Найдем ординату у₁ касательной, соответствующей абсциссе
x₁ = x₀ +h. Так как уравнение касательной к кривой в точке Р₀ имеет вид

,

то у₁ = у₀ + h f(x₀ , y₀ ).

Угловой коэффициент в точке Р₁(х₁ , у₁ ) также находится из данного дифференциального уравнения . На следующем шаге получаем новую точку Р₂(х₂ , у₂ ), причем х₂ = х₁ + h, y₂ = y₁ + h f(x₁ , y₁ ). Продолжая вычисления в соответствии с этой схемой, получим формулы Эйлера для m приближенных значений решения задачи Коши с начальными данными (х₀ , у₀ ) на сетке отрезка [ a, b ] с шагом h:

. (4)

Графической иллюстрацией приближенного решения является ломаная, соединяющая последовательно точки Р₀ , Р₁ , Р₂ , …,
Р_m, которую называют ломаной Эйлера.

Оценим погрешность метода Эйлера на одном шаге. Для этого запишем разложение точного решения задачи Коши в точке х₁ по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Погрешность метода на одном шаге имеет порядок h², так как

.

После m шагов погрешность вычисления значения y_m в конечной точке отрезка возрастет не более, чем в m раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством

или представить в виде d = Ch, где . Это значит, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В частности, при уменьшении шага h в 10 раз погрешность уменьшится примерно в 10 раз.

Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом h/2, в точке x_i Î [ a, b ] производят с помощью приближенного равенства - правила Рунге:

, (5)

где р – порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полученного результата по формуле (5) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом h, другой – с шагом h/2.