![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Графическое дифференцированиеСтр 1 из 7Следующая ⇒
Численное дифференцирование Задача приближенного вычисления производной может возникнуть в тех случаях, когда неизвестно аналитическое выражение для исследуемой функции. Функция может быть задана таблично, или известен только график функции, полученный, например, в результате показаний датчиков параметров технологического процесса. Иногда, при решении некоторых задач на компьютере, из-за громоздкости выкладок может оказаться более удобным вычисление производных численным методом, чем аналитическим. При этом, разумеется, необходимо обосновать применяемый численный метод, т.е. убедиться в том, что погрешность численного метода находится в приемлемых границах. Одним из эффективных методов решения дифференциальных уравнений является разностный метод, когда вместо искомой функции рассматривается таблица её значений в определенных точках, при этом производные приближенно заменяются разностными формулами (см. ниже п.5.2 и главы 7, 8). Графическое дифференцирование Пусть известен график функции y = f (x) на отрезке [ a, b ]. Можно построить график производной функции, вспомнив ее геометрический смысл. Воспользуемся тем фактом, что производная функции в точке x равна тангенсу угла наклона к оси абсцисс касательной к её графику в этой точке абсцисс. Если x = x 0, то найдем y 0 = f (x 0) с помощью графика и затем проведем касательную AB к графику функции в точке (x 0, y 0) (рис. 5.1). Проведем прямую, параллельную касательной AB, через точку (–1, 0) и найдем точку y 1 её пересечения с осью ординат. Тогда значение y 1 равно тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс, т.е. производной функции f (x) в точке x 0:
и точка M 0(x 0, y 1) принадлежит графику производной.
Рис. 5.1. Чтобы построить график производной необходимо разбить отрезок На рис. 5.2 показано построение пяти точек M 1, M 2, …, M 5 и графика производной.
Алгоритм построения графика производной: 1. Строим касательную к графику функции y = f (x) в точке (x 1, f (x 1)); из точки (–1, 0) параллельно касательной в точке (x 1, f (x 1)) проведем прямую до пересечения с осью ординат; эта точка пересечения дает значение производной 2. Аналогично построим остальные точки M 2, M 3, M 4 и M 5. 3. Соединяем точки M 1, M 2, M 3, M 4, M 5 плавной кривой.
Полученная кривая является графиком производной. Рис. 5.2. Точность графического способа определения производной невысока. Мы приводим описание этого способа только в учебных целях. Замечание. Если в алгоритме построения графика производной вместо точки (–1, 0) взять точку (– l, 0), где l > 0, то график будет построен в другом масштабе по оси ординат.
|