![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Разностные формулы для обыкновенных производных
Разностные формулы для приближенного вычисления производной подсказаны самим определением производной. Пусть значения функции в точках xi обозначены через yi:
yi = f (xi), xi = a + ih, i = 0, 1, …, n; h = (b – a)/ n.
Мы рассматриваем случай равномерного распределения точек на отрезке [ a, b ]. Для приближенного вычисления производных в точках xi можно использовать следующие разностные формулы, или разностные производные.
Так как предел отношения (5.1) при h → 0 равен правой производной в точке xi, то это отношение иногда называют правой разностной производной в точке xi. По аналогичной причине отношение (5.2) называют левой разностной производной в точке xi. Отношение (5.3) называют центральной разностной производной в точке xi. Оценим погрешность разностных формул (5.1) — (5.3), предполагая, что функция f (x) разлагается в ряд Тейлора в окрестности точки xi:
Полагая в (5.4) x = xi + h или x = xi – h, получим
Учитывая (5.5) и (5.6) имеем
Из последних соотношений следует, что разностная формула (5.3) имеет погрешность на порядок меньшую, чем разностные формулы (5.1) и (5.2). Пример 5.1. Вычислить приближенно производные с помощью разностных формул и сравнить с точными значениями производной функции y = sin x в точках отрезка [0, 1]. Решение в Excel. Составим таблицу значений функции В ячейку B 2 введем формулу =SIN(A2*3, 1415926) и протянем ячейку B 2 маркером заполнения до ячейки B 12. В ячейки C 3, D 3, E 3 и F 3 введем соответственно формулы Табл. 5.1
Результат представлен также графиком на рис. 5.3. Как видно на рисунке, разностная формула (5.3) дает практически те же значения, что и формула точной производной. Рис. 5.3.
Производные высших порядков можно приближенно вычислять по формулам, полученным с помощью последовательного применения разностных производных соотношений (5.1) — (5.3). Разностная формула для второй производной (разностная производная второго порядка) имеет вид:
Непосредственной подстановкой разложений (5.5) и (5.6) в формулу (5.10) можно получить зависимость между второй производной функции и разностной формулой для производной второго порядка:
Пример 5.2. Вычислить разностную приближенно производную второго порядка и сравнить с точными значениями второй производной функции y = sin π x в точках отрезка [0, 1]. Решение в Excel. Составим таблицу значений функции Вычислим те же величины с шагом 0, 1 (табл.5.3). Табл.5.2
Табл.5.3
Уменьшение шага таблицы в два раза привело к уменьшению относительной ошибки в четыре раза! Это объясняется формулой погрешности (5.11).
|