Неравномерное распределение узлов

Пусть известны значения y_i функции в узлах x_i:

x ₀ < x ₁ < x ₂ < … < x_{n – 1} < x_n.

В этом случае для вычисления производных используют интерполяционный многочлен. Предположим, что точка x расположена ближе к начальному узлу x ₀, тогда мы можем применить первый интерполяционный многочлен Ньютона

Здесь использованы обозначения для разделенных разностей:

Обозначим через ξ _i разность (x – x_i) и запишем многочлен Ньютона в виде

(5.37)

Теперь можем вывести формулы для производных:

(5.38)

Оставляя в (5.38) несколько слагаемых, получим формулы для приближенного вычисления производных. При этом порядок погрешности по отношению к шагу разбиения h равен числу оставленных членов, или разности между числом узлов интерполяции и порядком производной [9].

Приведем некоторые простые формулы (h = max h_i):

1. Первая производная по двум точкам:

(5.39)

Первая производная по трем точкам:

(5.40)

2. Вторая производная по трем точкам:

(5.41)

Вторая производная по четырем точкам:

(5.42)

3. Третья производная по четырем точкам:

(5.43)

Пример 5.5. Вычислить производную второго порядка функции
y = sin π x в точке x = 0, 4, пользуясь таблицей значений (см. табл.5.8).

Решение в Excel. Воспользуемся формулами (5.41) и (5.42).

Для формулы (5.41) необходимы только три точки. Создадим в программе Excel макрос — функцию для вычисления производной по формуле (5.41).

Для этого выберем меню «Сервис — Макрос — Редактор Visual Basic» и в открывшемся окне выполним команду «Insert — Module», затем введем:

Function pr_541(x0, x1, x2, y0, y1, y2)

pr_541 = 2 * ((y0 - y1) / (x0 - x1) - (y1 - y2) / (x1 - x2)) / (x0 - x2)

End Function

Перейдем в Excel и в ячейке D 4 запишем формулу =pr_541(B2; B3; B4; C2; C3; C4), и скопируем D 4 в D 5, D 6.

Таблица 5.8

Наиболее точно вторую производную приближает значение в D 6. Это объясняется тем, что в формуле, записанной в D 6 «=pr_541(B4; B5; B6; C4; C5; C6)» точка x = 0, 4 близка к начальному узлу x ₀ =0, 3.