Главная страница
Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Разностные формулы для частных производных
Разностные формулы для частных производных аналогичны формулам (5.1) — (5.3), (5.10).
Пусть функция двух переменных определена в прямоугольной области a 1 ≤ x ≤ b 1, a 2 ≤ y ≤ b 2.
Определение 5.4. Назовем сеточной областью множество точек (xi, yj), где
xi = a 1 + ih 1, i = 0, 1, …, n 1; h 1 = (b 1 – a 1)/ n 1,
yj = a 2 + jh 2, j = 0, 1, …, n 2; h 2 = (b 2 – a 2)/ n 2.
На рис. 5.3 изображена сеточная область для n 1 = 5, n 2 = 4. Эта сеточная область состоит из 30 точек.

Рис. 5.3
Введем обозначение ui , j = f (xi, yj).
Тогда для частных производных первого и второго порядка по переменной x можно записать разностные формулы (5.1) — (5.3) и (5.10):
. (5.12)
. (5.13)
. (5.14)
. (5.15)
Аналогичные разностные формулы можно записать и для частных производных первого и второго порядка по переменной y:
. (5.16)
. (5.17)
. (5.18)
. (5.19)
Запишем разностные формулы для смешанных производных:
(5.20)
(5.21)
(5.22)
Пример 5.3. Вычислить приближенно частную производную функции по её табличным значениям в сеточной области (xi, yj), где xi = 0, 1∙ i, i = 0, 1, …, 10; yj = 0, 2∙ j, j = 0, 1, …, 10. Сравнить полученные приближенные значения производных с точными значениями.
Решение в Excel. Таблица значений функции приведена в таблице 5.4.
Табл.5.4
x
y
|
| 0, 1
| 0, 2
| 0, 3
| 0, 4
| 0, 5
| 0, 6
| 0, 7
| 0, 8
| 0, 9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0, 2
|
| 0, 000
| 0, 000
| 0, 001
| 0, 001
| 0, 002
| 0, 003
| 0, 004
| 0, 005
| 0, 006
| 0, 008
| 0, 4
|
| 0, 001
| 0, 003
| 0, 006
| 0, 010
| 0, 016
| 0, 023
| 0, 031
| 0, 041
| 0, 052
| 0, 064
| 0, 6
|
| 0, 002
| 0, 009
| 0, 019
| 0, 035
| 0, 054
| 0, 078
| 0, 106
| 0, 138
| 0, 175
| 0, 216
| 0, 8
|
| 0, 005
| 0, 020
| 0, 046
| 0, 082
| 0, 128
| 0, 184
| 0, 251
| 0, 328
| 0, 415
| 0, 512
|
|
| 0, 010
| 0, 040
| 0, 090
| 0, 160
| 0, 250
| 0, 360
| 0, 490
| 0, 640
| 0, 810
| 1, 000
| 1, 2
|
| 0, 017
| 0, 069
| 0, 156
| 0, 276
| 0, 432
| 0, 622
| 0, 847
| 1, 106
| 1, 400
| 1, 728
| 1, 4
|
| 0, 027
| 0, 110
| 0, 247
| 0, 439
| 0, 686
| 0, 988
| 1, 345
| 1, 756
| 2, 223
| 2, 744
| 1, 6
|
| 0, 041
| 0, 164
| 0, 369
| 0, 655
| 1, 024
| 1, 475
| 2, 007
| 2, 621
| 3, 318
| 4, 096
| 1, 8
|
| 0, 058
| 0, 233
| 0, 525
| 0, 933
| 1, 458
| 2, 100
| 2, 858
| 3, 732
| 4, 724
| 5, 832
|
|
| 0, 080
| 0, 320
| 0, 720
| 1, 280
| 2, 000
| 2, 880
| 3, 920
| 5, 120
| 6, 480
| 8, 000
|
Табл.5.5
Таблица разностной приближенных значений производной,
вычисленных по формуле (5.22)
x
y
| 0, 1
| 0, 2
| 0, 3
| 0, 4
| 0, 5
| 0, 6
| 0, 7
| 0, 8
| 0, 9
| 0, 2
| 0, 032
| 0, 064
| 0, 096
| 0, 128
| 0, 16
| 0, 192
| 0, 224
| 0, 256
| 0, 288
| 0, 4
| 0, 104
| 0, 208
| 0, 312
| 0, 416
| 0, 52
| 0, 624
| 0, 728
| 0, 832
| 0, 936
| 0, 6
| 0, 224
| 0, 448
| 0, 672
| 0, 896
| 1, 12
| 1, 344
| 1, 568
| 1, 792
| 2, 016
| 0, 8
| 0, 392
| 0, 784
| 1, 176
| 1, 568
| 1, 96
| 2, 352
| 2, 744
| 3, 136
| 3, 528
|
| 0, 608
| 1, 216
| 1, 824
| 2, 432
| 3, 04
| 3, 648
| 4, 256
| 4, 864
| 5, 472
| 1, 2
| 0, 872
| 1, 744
| 2, 616
| 3, 488
| 4, 36
| 5, 232
| 6, 104
| 6, 976
| 7, 848
| 1, 4
| 1, 184
| 2, 368
| 3, 552
| 4, 736
| 5, 92
| 7, 104
| 8, 288
| 9, 472
| 10, 656
| 1, 6
| 1, 544
| 3, 088
| 4, 632
| 6, 176
| 7, 72
| 9, 264
| 10, 808
| 12, 352
| 13, 896
| 1, 8
| 1, 952
| 3, 904
| 5, 856
| 7, 808
| 9, 76
| 11, 712
| 13, 664
| 15, 616
| 17, 568
|
Табл.5.6
Таблица производной 
x
y
| 0, 1
| 0, 2
| 0, 3
| 0, 4
| 0, 5
| 0, 6
| 0, 7
| 0, 8
| 0, 9
| 0, 2
| 0, 024
| 0, 048
| 0, 072
| 0, 096
| 0, 12
| 0, 144
| 0, 168
| 0, 192
| 0, 216
| 0, 4
| 0, 096
| 0, 192
| 0, 288
| 0, 384
| 0, 48
| 0, 576
| 0, 672
| 0, 768
| 0, 864
| 0, 6
| 0, 216
| 0, 432
| 0, 648
| 0, 864
| 1, 08
| 1, 296
| 1, 512
| 1, 728
| 1, 944
| 0, 8
| 0, 384
| 0, 768
| 1, 152
| 1, 536
| 1, 92
| 2, 304
| 2, 688
| 3, 072
| 3, 456
|
| 0, 6
| 1, 2
| 1, 8
| 2, 4
|
| 3, 6
| 4, 2
| 4, 8
| 5, 4
| 1, 2
| 0, 864
| 1, 728
| 2, 592
| 3, 456
| 4, 32
| 5, 184
| 6, 048
| 6, 912
| 7, 776
| 1, 4
| 1, 176
| 2, 352
| 3, 528
| 4, 704
| 5, 88
| 7, 056
| 8, 232
| 9, 408
| 10, 584
| 1, 6
| 1, 536
| 3, 072
| 4, 608
| 6, 144
| 7, 68
| 9, 216
| 10, 752
| 12, 288
| 13, 824
| 1, 8
| 1, 944
| 3, 888
| 5, 832
| 7, 776
| 9, 72
| 11, 664
| 13, 608
| 15, 552
| 17, 496
|
Вычислим относительную погрешность в точке (x, y) = (0, 5; 1):

|