Приближенное решение обратной задачи интерполирования

Постановка задачи. Пусть функция определена на отрезке и задана своими значениями в точках . Необходимо найти значение аргумента по известному значению функции в этой точке .

Предположим, что монотонна на отрезке и , где , .

Задача обратного интерполирования решается для двух случаев: для равноотстоящих и не равноотстоящих узлов.

a) Случай равноотстоящих узлов, т.е. , , ; предположим так же, что и достаточно мал.

Тогда задача решается использованием первого интерполяционного полинома Ньютона

,

где необходимо определить , чтобы найти . Выделив из полинома получим уравнение , где

.

Решение данного уравнения можно искать например методом половинного деления или методом итерации по схеме , полагая , , и так далее. То предел будет решением уравнения.

Тогда будет решением обратной задачи интерполирования. Погрешность полученного решения будет состоять из погрешностей интерполяционной формулы и метода итерации.

b) Случай не равноотстоящих узлов, т.е. , , .

В этом случае используется формула Лагранжа, считая независимой переменной, выражая через :

, ,

, .