Численное интегрирование. Постановка задачи. Пусть функция определена и интегрируема на отрезке

Постановка задачи. Пусть функция определена и интегрируема на отрезке . Необходимо найти значение определенного интеграла , когда первообразная , неизвестна или ее трудно найти, или задана своими значениями , , .

Общий подход в численном интегрировании заключается в следующем:

a) Для функции строится аппроксимирующая функция , так чтобы на отрезке , при этом класс аппроксимирующей функции может зависеть от свойств функции , от необходимой точности вычисления интеграла, от числа арифметических действий, от времени работы алгоритма и т.д.;

b) Функция выбирается так, чтобы интеграл легко считался;

c) Функция выбирается так, чтобы или , где - задаваемая точность вычисления интеграла.

Для применения методов численного интегрирования делят отрезок системой равноотстоящих точек , , , , на отрезки , и рассматривают сумму интегралов .

Исходя из этих соображений и допущений обычно используют следующие формулы численного интегрирования.

1. Формула левых прямоугольников. В этом случае на отрезке заменяется функцией , тогда

,

, .

2. Формула правых прямоугольников. В этом случае на отрезке заменяется функцией , тогда

,

, .

3. Формула средних прямоугольников. В этом случае на отрезке заменяется функцией , тогда

,

, .

4. Формула трапеций. В этом случае на отрезке заменяется функцией , тогда

,

, .

5. Формулы Ньютона-Котеса. Если на отрезке заменить интерполирующим полиномом Лагранжа , то получим формулы Ньютона-Котеса

, , .

При получим из этих соотношений формулу трапеции.

6. Формула Симпсона. Получается из формул Ньютона-Котеса при четном числе разбиений отрезка и рассмотрении интерполяции функции на трех точках, т.е. приближается квадратичным трехчленом вида :

, .