Теперь определим -отношение

.

Для 5 % уровня значимости при ¦₁ = 4 и ¦₂ = 75 = 2, 5. Поскольку < , можно считать, что полином адекватно описывает исследуемый процесс .

Проведем технологический анализ полученной математической модели термообработки железобетонных изделий.

Наиболее значимым фактором оказалось время изотермического прогрева , так как коэффициенты при (+ 2.16) и (+ 1, 96) оказались наибольшими по абсолютной величине. С увеличением прочность возрастает и за пределами исследуемой области, но незначительно. Поэтому по технологическим и экономическим соображениям время следует ограничить, т. е. принять = 5 часов.

Второй по значимости оказалась температура предварительного подогрева бетонной смеси . Для увеличения прочности изделий температуру необходимо увеличить. Оптимальной будет температура около 37 º С.

Менее всего значима температура изотермического прогрева, так как центр эксперимента выбран в области оптимума, о чем свидетельствуют коэффициенты при (+1, 51) и (-3, 45). Температуру изотермического прогрева следует принять в пределах от 86 до 87 º С.

В зависимости от достаточности (по мнению исследователя) или от области исследований (почти стационарная или неизвестная) можно использовать линейные или нелинейные планы. Рассмотрим пример такого выбора планов приведенный в руководстве по подбору составов тяжелого бетона [20].

Пример 6.1. Требуется подобрать состав бетона марок М300 и М400 с прочностью 60–70 % марочной в возрасте 3 суток нормального твердения при введении в состав бетона добавки – ускорителя твердения в количестве 3 % массы цемента и с жесткостью смеси не более 30 с по техническому вискозиметру [6].

В качестве переменных выбраны следующие: смеси; – до-ля песка в смеси заполнителей, ; – водосодержание смеси , л/м³.

Интервалы варьирования переменных назначены с учетом рекомендаций (табл. 6.4).

Таблица 6.4

Интервалы варьирования переменных

Поскольку ставится задача определения прочностных характеристик в сравнительно узком диапазоне изменения переменных, принимаются для реализации трехфакторный линейный план, а для определения же­сткости – трехфакторный трехуровневый нелинейный план.

План эксперимента и результаты определений искомых величин приведены в табл. 6.5.

Таблица 6.5

Планирование эксперимента

В данном примере рассмотрим расчет коэффициентов уравнения только для одного случая – R ₂₈. Для понимания знаков, используемых в формулах, воспользуемся табличной формой записи (табл. 6.6).

Таблица 6.6

Расчет коэффициентов уравнения

Подставим значения, приведенные в табл. 6.6 в формулы (6.14), (6.16) и рассчитаем коэффициенты уравнения регрессии

,

,

,

,

,

17, 1,

Проведем статистическую проверку значимости коэффициентов и пригодности полученного уравнения для описания исследуемой зависимости. Для этого по результатам опытов в нулевой точке (основной) определяем:

· среднеарифметическое значение параметра – ;

;

· дисперсию в нулевой точке ;

;

· среднее квадратическое отклонение

;

· среднюю квадратическую ошибку в определении коэффициентов

.

Определим расчетное значение -критерия Стьюдента и установим значимость коэффициентов уравнений для определения . Проверку производим, начиная с самого малого коэффициента

= сравниваем с при ( =4, 303);

) < – коэффициент незначим.

Далее коэффициент незначим;

– коэффициент незначим;

– коэффициент значим.

Полученное уравнение прочности имеет вид

.

Производим проверку пригодности уточненных уравнений. Для этого определим

∆ = Y – y ₀, a ∆ ² = (Y – y ₀)².

Дисперсия адекватности при этом составит

.

В примере = 8, = 3, к = 4, = = 8 – 4 = 4 и .

Расчетное значение коэффициента Фишера cоставляет

.

Сопоставляя его с табличным, определенным при и и равным 19, 3, приходим к заключению, что , следовательно, уравнение прочности пригодно для описания исходной зависимости в исследованных пределах изменения факторов.

Уравнение жесткости бетонной смеси второго порядка при трехфакторном эксперименте выглядит сложнее

и количество экспериментов, необходимых для определения коэффициентов уравнения, увеличивается. Для удобства вычислений представим все в табличной форме (табл. 6.7). Расчеты коэффициентов производятся с использованием следующих формул:

; (6.14)

; (6.15)

; (6.16)

. (6.17)

Воспользуемся табличными данными:

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Подставляя полученные промежуточные значения сумм в формулы (6.14)–(6.17), получаем:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Для статистической проверки значимости коэффициентов и пригодности полученного уравнения для описания жесткости бетонной смеси определяем следующие оценки:

;

;

.

Вычисляем ошибки в определении коэффициентов уравнения:

;

;

;

.

Определяя значимость коэффициентов, сравнивая с (при ), для > – коэффициент значим;

для < – коэффициент незначим;

для > – коэффициент значим;

следовательно, значим и коэффициент ;

для < – коэффициент незначим;

для > – коэффициент значим;

следовательно, значим и коэффициент ;

для < – коэффициент незначим,

следовательно, незначимы все парные взаимодействия.

Таблица 6.7

План и результаты эксперимента

План экспе-римента ()

Квадрат переменных ()

Взаимодействия

Yu

YP

∆

∆ 2

Жесткость Ж, с ()

Жесткость Ж, с ()2

Жесткость Ж, с ()

х 1

х 2

х 3

Ж, с

Ж, с

yu–yp

(yu–yp)2

+

+

+

+

+

+

+

+

+

16, 5

1, 5

2, 25

–

+

+

+

+

+

–

–

+

28, 5

1, 5

2, 25

–30

– 30

–30

+

–

+

+

+

+

–

+

–

19, 5

3, 5

12, 25

–16

– 16

– 16

–

–

+

+

+

+

+

–

–

25, 5

0, 5

0, 25

–26

–26

–26

–26

+

+

–

+

+

+

+

–

–

46, 5

0, 5

0, 25

–47

–47

–47

–

+

–

+

+

+

–

+

–

58, 5

0, 5

0, 25

–58

–58

–58

–58

+

–

–

+

+

+

–

–

+

49, 5

3, 5

12, 25

–53

–53

–53

–53

–

–

–

+

+

+

+

+

+

55, 5

1, 5

2, 25

–54

–54

–54

+

+

–

+

–35

+

+

24, 5

1, 5

2, 25

–

+

24, 5

1, 5

2, 25

–26

+

+

8, 5

2, 5

6, 25

–

+

38, 5

0, 5

0, 25

–39

S = =534

–

–46

–150

–12

–10

Уравнение жесткости принимает вид

.

Произведем проверку пригодности уточненного уравнения по данным табл. 6.7 и по аналогии с проверкой уравнения прочности и убедимся, что оно пригодно для уравнения жесткости в исследованных пределах изменения факторов:

;

(по таблице для и ).

Но одной из задач исследования было ограничение жесткости 30 секундами.

Из анализа уравнения жесткости следует, что при прочих равных условиях минимальной жесткостью будет обладать смесь, в которой доля песка примерно равна 0, 4 (» 0). Принимаем = 0 и подставляем это значение в уравнение. Получим:

.

Определяем предельные значения факторов и , обеспечивающих значение жесткости смеси не более 30 с

а) при

.

Подставляя заданное значение Ж = 30 с, получаем квадратное уравнение или ,

и 4, 05,

≥ 0, 364 второе значение = 4, 05 лежит за пределами эксперимента и не учитывается.

Следовательно, из условия получения жесткости не более 30 с должно лежать в интервале 0, 364 – 1 или в натуральных значениях:

л/м³;

л/м³;

т. е. в пределах 184–190 л/м³.

Все последующие значения дают близкие значения , т. е. близкие расходы воды;

б) при = –0, 5 (В/Ц = 0, 375)

≥ –0, 177; В = 178¸ 190 л/м³;

в) при = 0 (В/Ц = 0, 4)

≥ –0, 427; В = 176¸ 190 л/м³;

г) при = +0, 5 (В/Ц = 0, 425)

≥ –0, 456; В = 175, 4¸ 190 л/м³;

д) при = +1 (В/Ц = 0, 45)

= –0, 25 В = 178¸ 190 л/м³.

Для рассмотренных случаев определим условия получения максимальной ранней прочности бетона ()_макс:

а) для = –1 и = 0 (В/Ц = 0, 35 и = 0, 4)

и

()_макс достигается при = +1 (71, 5%), при этом

,

;

б) для )

достигается при значении

и , при этом

;

в) для = +1 и =+0 ( = 0, 45, = 0, 4)

,

при %

МПа.

Таким образом, окончательно имеем:

· для бетона марки М400 с ранней прочностью, составляющей 70 % марочной [11]

= –1; В/Ц = 0, 35; = 0; = 0, 4; =+1; = 190 л/м³; ≤ 30 с;

· для бетона марки М300 с ранней прочностью, составляющей 60 % марочной:

=+1; = 0, 45; = 0; = 0, 4; =–0, 4; = 176 л/м³; ≤ 30 с.

Принятый состав бетона проверяется опытным замесом и корректируется для производственного применения с учетом влажности заполнителей.

Отпугивающий многих исследователей аппарат громоздких вычислений коэффициентов уравнения регрессии, который подробно рассмотрен в предыдущих примерах, полностью исчезает при использовании простейших программ ПЭВМ. Это позволяет более экономно использовать время высококвалифицированных специалистов в области материаловедения и других технических областях лишь для технологического анализа полученных математических моделей процессов. ЭВМ позволяет дать и графическую интерпретацию математической модели, что чаще невозможно при описании сложных процессов сделать вручную.

Б.В. Махининым [16] с помощью планирования эксперимента было исследовано влияние домола и добавки СДБ на основные свойства мелкозернистого бетона (это еще одно преимущество метода планирования, когда, используя одни и те же эксперименты задаем в качестве оптимизируемых величин различные свойства материала и можем получить математические модели для эффективных процессов по обеспечению желаемых свойств).

В качестве исходных материалов использовался лежалый цемент Теплоозерского цементного завода активностью 32 МПа и сухая СДБ.
В качестве заполнителя применялся крупный песок М_кр = 3. В эксперименте использовался 2-факторный трехуровневый план. Варьирование времени домола – 0; 3; 6 часов и количество пластифицирующей добавки – 0; 0, 2; и 0, 4 % массы цемента. Все остальные параметры мелкозернистого бетона (МЗБ) оставались постоянными за исключением В/Ц, которое изменялось от 0, 48 до 0, 55, для обеспечения одинаковой подвижности бетонных смесей. В смеси на лежалом (неактивированном) цементе СДБ вводили в виде 10%-ных растворов с водой затворения, а подвижность смесей определяли по расплыву конуса на встряхивающем столике, стремясь получить равноподвижные смеси с РК = 170¸ 180 мм.

Из полученных смесей формовались образцы кубы с ребром 7, 07 см и балочки 4´ 4´ 16 см, которые хранились в нормально-влажных условиях до испытаний в 28-суточном возрасте.

В результате испытаний были получены математические модели
для прочности МЗБ при сжатии, коэффициента трещиностойкости
(К_тр = R_и/R_сж), водопоглощения, прочности на растяжение при раскалывании и ударной прочности а, определяемой на кубиках при помощи копра Клебе:

,

где – количество ударов копра; – масса падающего груза 3 кг;
– высота падения груза – 50 см; – объем образца, м³.

План эксперимента и значения функций отклика приведены в табл. 6.8.

Полученные фактические значения (функции отклика) статистически обработали на компьютере для определения коэффициентов уравнений вида

,

где – коэффициенты уравнения; х ₁ – кодированное значение времени домола; х ₂ – кодированное значение дозировки СДБ.

Таблица 6.8

Значения функций отклика

После обработки в Exсell фактических значений отклика были получены уравнения:

,

,

,

,

,

.

По этим уравнениям были определены расчетные значения исследуемых функций и построены их графические модели, которые наглядно показывают, как меняются интересующие нас свойства МЗБ в зависимости от домола цемента и добавки СДБ (рис. 6.6).

Для проверки воспроизводимости результатов в точке факторного пространства с координатами «0, 0» были дополнительно поставлены два опыта. Проверка полученных математических моделей по критерию Фишера подтвердила их адекватность фактическим значениям свойств МЗБ при значимости = 0, 05.

Анализ фактических значений исследуемых свойств, их математических и графических моделей позволяет констатировать следующее.

1. Подвижность смесей на исходном цементе (без домола) поддерживалась на уровне РК = 180 мм за счет уменьшения расхода воды при введении СДБ с водой затворения: с В/Ц = 0, 55 у контрольного состава до 0, 48 (на 13 %) при дозировке 0, 4 % СДБ. Смеси на цементе, домалываемом 3 и 6 часов, характеризовались чуть большей вязкостью:
РК = 175 и 170 мм соответственно при меньшей эффективности сухой СДБ, введенной при помоле, так как при ее максимальной дозировке 0, 4 % удалось снизить В/Ц лишь до 0, 5 (на 9 %), что, впрочем, соответствует литературным данным.

Рис. 6.6. Зависимость прочности МЗБ при сжатии

от времени домола и количества добавки СДБ

Эту же зависимость графически можно представить и горизонтальной проекцией (рис. 6.7).

Как видно из графической модели (рис. 6.6, 6.7), R _сж повышается как при увеличении времени домола, так и количества добавки СДБ. Однако, влияние первого фактора оказалось примерно в 1, 5 раза сильнее второго. Так, введение 0, 2 и 0, 4 % СДБ с водой затворения в смесь на исходном цементе повысило прочность при сжатии соответственно
на 29 и 39 %, а 3 и 6-часовой домол цемента без СДБ – на 35 и 50 %.

2. Максимальная же прочность отмечена при взаимодействии варьируемых факторов на верхних уровнях при 6-часовом домоле и 0, 4 % СДБ. Она составила 42, 4 МПа, превысив R _сж контрольного состава на 88 % (рис. 6.6).

3. Аналогичная зависимость получена и для R _и (рис. 6.8). Но в этом случае эффективность домола чуть ниже, чем увеличение расхода СДБ. Суммарный упрочняющий эффект этих факторов также проявляется на их верхних уровнях и соответствует максимальному росту R _и на 98 % относительно контрольного состава.

Рис. 6.7. Зависимость прочности МЗБ при сжатии

от количества добавки СДБ и времени домола

Рис. 6.8. Зависимость прочности МЗБ на растяжение при

раскалывании от количества добавки СДБ и времени домола

4. Математическая и графическая модели (рис. 6.9) отражают противоречивый характер влияния тонкости помола цемента и дозировки СДБ на этот расчетный показатель (К _тр= R _и/ R _сж). Первый фактор влияет отрицательно, второй – положительно и вдвое сильнее. Очевидно, это связано с тем, что при введении добавки R _и растет интенсивнее, чем R _сж. В отличие от других свойств, именно для К _тр удалось «поймать» оптимальную точку внутри выбранного пространства – максимума К _тр, превышающую на 19 % контрольный, который можно достигнуть при домоле цемента около 1 часа с 0, 34 % СДБ.

Рис. 6.9. Зависимость к _тр МЗБ от количества

добавки СДБ и тонкости помола цемента

5. Полученная модель (рис. 6.10) показывает, что время домола и расход СДБ на R _рр МЗБ действуют в одном направлении (повышая ее при увеличении обоих факторов), но первый из них примерно вдвое сильнее: в отсутствие добавки шестичасовой домол дает прирост R _рр до 62 %, а 0, 4 % СДБ на исходном цементе – всего 29 %. Максимальный рост R _рр на 84 % обеспечен именно при наибольших тонкости помола и дозировке пластифицирующей добавки.

Рис. 6.10. Зависимость прочности МЗБ на растяжение при раскалывании в зависимости от времени домола и количества добавки СДБ

6. Анализируя графическую модель (рис. 6.11) и математическую зависимость от времени домола и количества добавки СДБ, можно заключить, что это свойство в наибольшей степени удается повысить при увеличении тонкости помола пластифицированного цемента. При том оптимальной дозировкой добавки СДБ можно считать 0, 3 %; 6-часовой домол такого состава приводит к росту удельной ударной вязкости МЗБ более чем в 2 раза.

Рис. 6.11. Зависимость удельной ударной вязкости

МЗБ от времени домола и количества добавки СДБ

7. Водопоглощение бетона характеризует его открытую пористость, доступную воде при атмосферном давлении, которая заполняет капиллярные и часть наиболее крупных гелевых пор. Поэтому величина водопоглощения обычно тесно коррелирует с капиллярной пористостью бетона и, естественно, с его важнейшими свойствами. Эксперименты подтверждают это.

Повышение тонкости помола цемента, несмотря на некоторое увеличение водопотребности, снижает W_m МЗБ (почти на 20 % без добавки). В еще большей степени (до 25 %) этому способствует введение пластификатора в повышенных дозировках. Минимальным же водопоглощением, судя по графической модели (рис. 6.12), будет обладать бетон на наиболее тонкомолотом цементе при оптимальном расходе СДБ, равном 0, 3 %. Это соотносится с ранее выявленными максимумами прочностных характеристик МЗБ в данной области факторного пространства.

Рис. 6.12. Зависимость водопоглощения МЗБ от

времени домола и количества добавки СДБ

Технологический анализ модели удобнее проводить, имея графическую интерпретацию процесса. Для этой цели можно использовать и «упрощенное» плоскостное изображение в горизонталях [17].

В тех случаях, когда в ходе испытаний появляется необходимость исследовать влияние многих факторов на оптимизируемую величину (в связи с этим число опытов резко возрастает), переходят к организации эксперимента с помощью дробных реплик [8, 18].

При исследовании газопроницаемости бетонов П.С. Красовским [13] была использована 1/8 реплики типа 2^7-3. В результате реализации такого плана было поставлено всего 16 опытов вместо 64, которые потребовались бы при традиционном подходе для достижения той же величины дисперсии.

В исследованиях переменные назначались в пределах, выбираемых из соображений технологического порядка, и варьировались так, чтобы результаты эксперимента можно было представить полиномом первой степени. Учитывались В/Ц; количество Ц, кг/м³, минералогический состав цемента, а точнее содержание С₃А; крупность заполнителя; доля песка r в смеси заполнителей; тонкость помола цемента, характеризуемая величиной удельной поверхности цемента S _уд; режим хранения образцов после тепловой обработки. За оптимизируемую величину принималась газопроницаемость бетона при перепаде давлений 15 ати.

В результате исследований была получена зависимость:

Сопоставив с табличным при = 0, 05 значимости, определили значимость коэффициентов уравнения регрессии, в результате чего коэффициенты при и всех парных взаимодействиях оказались незначимы и приравнены 0. Эксперимент показал, что всеми тройными взаимодействиями можно также пренебречь. Таким образом, уравнение существенно упростилось и приняло вид:

Анализируя уравнение, можно сделать вывод, что на газопроницаемость бетона наибольшее влияние оказывает В/Ц и условия твердения после пропаривания. Из остальных факторов следует отметить влияние С₃А в клинкере. Доля песка и количество цемента мало влияют на газопроницаемость в исследуемых пределах, а крупность заполнителя в указанных пределах вообще не оказывает никакого влияния.

Учитывая полученные результаты, решено было поставить вторую серию опытов по крутому восхождению в направлении линейного градиента, полученного для газопроницаемости. Так как крупность заполнителя не влияла на результаты, было принято решение перейти на заполнитель, представлявший смесь двух фракций 5–10 и 10–20.

При определении направления крутого восхождения исходя из соображений технологического характера уже во втором опыте автор стабилизировал и на определенном уровне, что в графической интерпретации соответствует изменению направления восхождения, а в математической модели – переходу на трехфакторный эксперимент.

Реализация спланированных опытов показала, что уже в 21-м опыте газопроницаемость начинает повышаться. Следовательно, выбранная автором на основе априорных сведений область значений факторов охватывает часть почти стационарной области, где уравнение расхода газа может быть выражено полиномом второй степени, а полученные значения факторов могут быть приняты за оптимальные.

При анализе факторов, снижающих газопроницаемость, было замечено, что она определенным образом зависит от жесткости бетонной смеси. При повышении жесткости смеси выше 90 с при обычной вибрации газопроницаемость начинала возрастать. Дальнейшее снижение газопроницаемости можно достигнуть путем снижения В/Ц, что для сохранения жесткости в указанных пределах требует применения пластифицирующих добавок. Снижения газопроницаемости можно добиться также путем введения полимерных смол ТЭГ-1 и № 89, способных изменять структуру порового пространства бетона и частично пластифицировать смесь. Исследования бетонов с добавками показали, что газопроницаемость бетона снижается при введении смолы ТЭГ-1 на величину, близкую к одному порядку.

К оптимизационным методам можно отнести ещё один – метод конечных элементов, так как анализ, выполненный для расчетных моделей с его помощью, позволяет установить условия получения оптимальных свойств материала. Однако на практике гораздо чаще МКЭ используется при расчете конструкций, при оценке напряженного состояния материала под нагрузкой, чем при оптимизации технологических процессов. Поэтому в данном пособии этот метод не рассматривается.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется активным и пассивным экспериментом?

2. Что называется двухфакторной моделью второго порядка?

3. Каковы геометрические образы откликов двухфакторных моделей второго порядка?

4. Что такое классический путь движения к экстремуму?

5. В чем заключается принцип «крутого восхождения»?

6. Каковы геометрические модели 2- и 3-факторных экспериментов?

7. Объясните, что означают верхний и нижний уровни фактора?

8. Какие свойства можно оптимизировать с помощью активного эксперимента?

9. С помощью каких поверхностей можно проводить технологический анализ производственных факторов?

10. Что называется полным планом и дробными репликами?

& Рекомендуемая литература [5, 6, 8, 11, 13, 15–21].

Заключение

Итак, мы с Вами познакомились с методами более глубокой оценки свойств строительных материалов, чем это делалось в курсе материаловедения, и методами их оптимизации.

Предлагая это пособие в качестве вспомогательной литературы при изучении одноименного курса, мы опирались на более, чем 30-летний опыт чтения курса лекций «Основы научных исследований», позднее трансформировав его в «Основы математической статистики в технологии строительных материалов».

Автор не ставил своей задачей постижение тонкостей математического аппарата. В пособии упор сделан на знания математики, полученные при ее изучении в рамках программы технического вуза, и на практическое их приложение, связанное с исследованиями в области строительных материалов.

Актуальность поднимаемой проблемы в настоящее время связана с переходом на добровольную сертификацию продукции предприятий строительной отрасли. При этом одним из главнейших пунктов при выдаче сертификата соответствия является оценка стабильности производства. Для этого производится определение характеристик: среднего арифметического, дисперсии, доверительных интервалов и др. Кроме этого, многие стандартные испытания по требованиям нормативной документации должны сопровождаться аналогичной обработкой результатов.

Хочется надеяться, что конкретные примеры, рассмотренные в пособии, помогут студентам дневной и заочной форм обучения разобраться в столь необходимых для инженера вопросах и успешно использовать полученные знания и навыки при решении конкретных инженерных задач на производстве.