Оптимизация исследований технических свойств материалов

Из методов оптимизации исследований в настоящее время наиболее признаны методы планирования экспериментов и конечных эле­ментов.

В 50-е гг. XX в. Бокс и Уилсон предложили новое решение старой за­дачи – отыскание оптимальных условий протекания химических, физических и металлургических процессов. В ней рассматриваются процес­сы, зависящие от многих факторов, в условиях, когда механизм этих процессов неизвестен. В таком случае естественно прибегать к пред­ставлению результатов наблюдений полиномиальной моделью. Метод решения был назван планированием эксперимента и получил признание во всем мире. В России его активно развивал В.В. Налимов [18], боль­шой вклад внес для практического использования метода при решении технических задач В.А. Вознесенский [5, 6], а в области исследований свойств бетонов – Е.Н. Львовский, В.Г. Зазимко и др. [11, 15].

В настоящее время сложилась стройная теория планирования экспе­римента с достаточно сложным математическим аппаратом и термино­логией. Основанное на построении экономичных планов (полные и дробные факторные планы, ортогональные латинские квадраты и сба­лансированные блок-схемы) планирование эксперимента позволяет оп­тимизировать трудовые, временные и материальные ресурсы на прове­дение исследований и дать более точные оценки неизвестных парамет­ров регрессии при равном числе измерений.

Для освоения этого эффективного приема исследований рассмотрим правила формирования и реализации двухуровневых планов, получив­ших наибольшее распространение при факторном планировании экспе­римента.

Оптимальное планирование экспериментов. Целью экспериментальных исследований является поиск закономер­ности между оптимизируемыми величинами и варьируемыми фактора­ми. При этом все эксперименты делятся на активные и пассивные.

Пассивным экспериментом является такой, в котором варьируют одним фактором, сохраняя остальные на постоянном уровне. Резуль­таты такого исследования анализируют путем построения графиче­ских зависимостей между оптимизируемыми величинами и варьируе­мым фактором.

Активным экспериментом называют эксперимент, выполняемый по плану, предусматривающему все варианты сочетаний нескольких одно­временно варьируемых факторов. Активный эксперимент называют пла­нированным.

Полная двухфакторная модель второго порядка имеет вид

(6.1)

и в зависимости от наличия коэффициентов представляет собой одну из поверхностей 2-го порядка (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Поверхности второго порядка и их изолинии

Если полином содержит только линейные члены (), то он описывает плоскость (рис. 6.1, а), изолинии которой – параллельные прямые; абсолютные числовые оценки линейных эффектов можно интерпретировать как скорости влияния на (при изменении от 0 до 1); чем больше , тем сильнее влияние на ; по знакам линейных эффектов можно найти направление изменения для роста ; модель может быть (при независимости коэффициентов ) использована для поиска оптимума по методу «крутого восхождения».

Если полином содержит по одному фактору линейный эффект, а по другому – линейный и квадратичный (), то он описывает параболический цилиндр (рис. 6.1, б) с выпуклостью вверх, если < 0, его изолинии – семейство парабол с общей главной осью:

. (6.2)

Если полином содержит и линейные, и квадратичные эффекты (но ), то он описывает эллиптический (рис. 6.1, в) или гиперболический (рис. 6.1, г) параболоиды. Эллиптический параболоид будет с выпуклостью вверх, если квадратичные эффекты отрицательны, и с выпуклостью вниз, если они положительны. Их изолинии – семейство эллипсов с общим центром. Гиперболический параболоид возникает, если квадратичные эффекты имеют разные знаки; его изолинии – семейство гипербол с общим центром.

Если полином содержит коэффициент (эффект взаимодействия), но не содержит квадратичных эффектов (неполный полином второго порядка), то он описывает седловидную поверхность гиперболического параболоида (рис. 6.1, д), изолинии которого – семейство гипербол с общим центром

. (6.3)

Абсолютное числовое значение коэффициента эффекта взаимодействия показывает насколько изменится скорость роста в зависимости от , если другой фактор изменится от 0 до 1.

Проекция поверхности отклика на плоскость факторов и изображается в виде линий равного выхода (изолиний), во всех точках которых выход имеет постоянное значение независимо от и . Таким образом, если заданному набору коэффициентов и соответствует одно значение , то одному заданному может соответствовать множество и , лежащих на изолинии [15].

Чтобы избежать необходимости использования полиномов высокого порядка, был предложен шаговый метод изучения поверхности отклика, напоминающий итерационный метод решения задач вычислительной математики.

Вначале ставят небольшую серию опытов для локального описания малого участка поверхности отклика полиномом первой степени. Далее он движется по поверхности отклика в самом «крутом направлении» – в направлении градиента линейного приближения. Если одного линейного приближения оказывается недостаточно, то ставят новую небольшую серию опытов и находят новое направление для движения по поверхности отклика. Так продолжается до тех пор, пока исследователь не попадет в «почти стационарную область», где линейное приближение оказывается уже невозможным; здесь ставится большая серия опытов и поверхность описывается полиномом второго, а иногда и третьего порядка. При таком подходе к задаче достигается весьма высокая концентрация опытов в той части поверхности отклика, которая преимущественно интересует исследователя.

Графически такое движение по градиенту в задаче с двумя незави-симыми переменными представлено на рис. 6.2. На рисунке нанесены кривые равного выхода для одного из технологических процессов. Эти кривые аналогичны кривым равной высоты на географических картах. Цикл попеременного движения повторяется много раз (получается своеобразное блуждание по лабиринту), он усложняется с ростом числа независимых переменных (рис. 6.3).

Движение из точки О в направлении ОР соответствует наиболее крутому пути подъема по поверхности отклика (отсюда и название метода – метод крутого восхождения). В направлении ОР исследователь будет двигаться до тех пор, пока не попадет в точку Q. В окрестности точки Q нужно поставить вторую серию опытов и заново найти локальное линейное приближение поверхности отклика. Для сравнения на рис. 6.3 показано пунктиром движение по поверхности отклика при однофакторном эксперименте. В этом случае двигаются попеременно, сначала изменяя одну переменную и фиксируя другую, а затем, изменяя вторую переменную и фиксируя первую.

Цикл попеременного движения повторяется много раз – получается своеобразное блуждание по лабиринту, который усложняется с ростом числа независимых переменных (рис. 6.3): М₁; движение при х₁ = сonst от точки М₁ до частного максимума М₂ и т. д.

В общем случае поверхность может иметь самую причудливую форму, напоминающую местность с вершинами и впадинами. Задачей эксперимента является поиск экстремальных значений поверхности отклика: самой высокой вершины или самой глубокой впадины. Схема такого «крутого восхождения» приведена на рис. 6.4.

Движение по градиенту давно известно в науке. Бокс и Уилсон использовали его в сочетании с дробным факторным экспериментом для локального описания поверхности отклика. Это и определило успех «крутого восхождения».

Рис. 6.4. Крутое восхождение

Для выбранной случайным образом достаточно малой области фак­торного пространства планируют дробный факторный эксперимент, проводят первую серию опытов (обычно из четырех) и строят линейную функцию отклика. Это еще не поиск экстремального значения функции, а предварительное отыскание направления дальнейшего поиска. Найдя градиенты уравнения (углы наклона поверхности в каждом направле­нии), повторяем операции и достигаем, наконец, вершины поверхности отклика. В этой области, как уже указывалось, проводят полный фактор­ный эксперимент с определением не только линейных коэффициентов регрессии, но и всех учитываемых взаимодействий.

Тот факт, что функция отклика в окрестности исследуемой точки поч­ти не изменяется, еще не говорит, что исследователь находится вблизи точки максимума. Это может быть медленно поднимающийся гребень или гребень постоянной высоты; может быть седловидная точка, яв­ляющаяся максимальной по одному направлению и минимальной по другому; может быть точкой локального максимума. Именно поэтому в данном месте необходимо большое количество экспериментов и для решения задачи приходится переходить на рототабельные построения, познакомиться с которыми можно в [16].

Итак, для математического описания технологического явления тре­буется минимальное количество опытов, из которых информация извле­кается с максимальной полнотой, и позволяет получить с заданной на­дежностью математическую модель процесса в аналитическом или гра­фическом виде.

При постановке задачи изучают опытные данные, полученные ранее. На основании этих данных выбирают как оптимизируемые величины, так и варьируемые факторы, которые должны быть независимыми друг от друга.

Успех решения экспериментальной задачи в значительной мере за­висит от того, насколько удачно выбран план эксперимента. Применяют ортогональные, рототабельные, Д-оптимальные и другие планы.

Наиболее часто используют ортогональные симметричные планы, которым присущи минимальное число опытов, простота вычисления ко­эффициентов математической модели (уравнения). План обычно пред­ставляет матрицу, охватывающую изучаемую область.

Если в эксперименте с двумя переменными х ₁и х ₂каждая пере­менная изменяется на двух уровнях (например при подборе состава бе­тона расход цемента х ₁ изменяется на уровнях 280 и 320 кг/м³, а рас­ход воды х ₂ – на уровнях 190 и 210 л/м³), то все возможные комбинации варьируемых таким образом двух факторов будут исчерпаны перебо­ром, приведенным в табл. 6.1.

Для упрощения расчетов от натуральных значений исследуемых ве­личин переходят к кодовым переменным, принимающим на верхнем уровне значение +1, на нижнем –1. Этот переход выполняется по фор­муле

,

х_i – кодовая переменная; X_i – натуральная переменная; X ₀ – натураль­ное значение величины в центре эксперимента; D X_i – натуральное зна­чение интервала варьирования.

Полный факторный эксперимент для двух переменных, варьируемых на двух уровнях (планирование типа 2²), приведен в табл. 6.1.

Таблица 6.1

План эксперимента

Номер опыта	х 0	Планирование	х 1 х 2
		х 1	х 2
	+ 1 + 1 + 1 + 1	– 1 + 1 – 1 + 1	– 1 – 1 +1 +1	+1 –1 –1 +1	у1 у2 у3 у

Табл. 6.1 называется матрицей планирования: каждая строка фик­тивной переменной х ₀ = + 1, в графах 3, 4 – значения х ₁и х ₂(собственно планирование); в графе 5 – значение х ₁ х ₂(эффект взаимодей­ствия факторов в графе 6 – результаты наблюдений.

Пользуясь планированием 2², можно определить коэффициенты рег­рессии неполного уравнения

.

В это уравнение переменные х ₁ и х ₂ входят не в абсолютном, а в относительном (кодированном) значении.

Графически эту зависимость можно представить поверхностью от­клика горизонтальной проекцией которой является квадрат (см. рис. 6.3). Число опытов (четыре) равно числу оцениваемых параметров () и на проверку нуль-гипотезы об адекватном представ­лении результатов эксперимента моделью (6.2) не остается степеней свободы. Однако, если есть основания предполагать, что в заданном интервале варьирования х ₁ явление может быть описано линейной
мо­делью (без взаимодействия х ₁ х ₂ ), то одна степень останется для про­верки гипотезы адекватности.

Матрица планирования для 3 переменных – 2³ получается из матри­цы 2² при повторении её дважды: один раз при значении х_i на нижнем уровне, второй раз – на верхнем. На рис. 6.5 показана схема планиро­вания типа 2³ с координатами точек куба в кодовом масштабе. Если приблизительно известна область, где находятся экспериментальные значения оптимизируемых величин, эксперименты проводят в этой поч­ти стационарной области.

Она описывается, как правило, квадратичными моделями (поли­номами второй степени).

При изучении почти стацио­нарной области возникает ряд сложных проблем. Если мы хотим описать эту часть поверхности от­клика полиномом второго поряд­ка, то переменные нужно варьи­ровать уже на трех уровнях, но планы полного факторного экспе­римента типа З^к здесь неприемлемы, так как они потребуют слишком большого числа опытов. Боксом и Уилсоном было предложено построение композиционных планов, ядром которых служат линейные ортогональные планы. Пред­полагается, что, попав в почти стационарную область, исследователь сначала ставит опыты, используя линейные планы. Затем, убедившись в том, что гипотеза линейности здесь не проходит, он достраивает ли­нейный план до плана второго порядка; отсюда и название – компози­ционный план. Рассмотрим стратегию построения композиционного плана на примере задачи с тремя переменными (рис. 6.5). Сначала ста­вим опыты по линейному плану в точках, задаваемых вершинами пра­вильного симплекса (тетраэдра). Эти точки являются подмножеством вершин того куба, которым задаются границы варьирования перемен­ных в линейной задаче. На рис. 6.5 они обозначены зачерненными кружками. Далее ставим эксперимент в центре куба для проверки гипо­тезы адекватности. Если гипотеза адекватности не проходит, то дост­раиваются вершины куба (незачерненные точки), и затем добавляется еще часть так называемых «звездных» точек, образующих октаэдр. На рисунке эти точки обозначены звездочками. Здесь видно, что при переходе к плану второго порядка границы варьирования переменных рас­ширяются. В результате получается композиционный план второго по­рядка, содержащий
(при к = 3) всего лишь 15 точек (полный факторный эксперимент типа З³ содержал бы уже 27 точек).

После постановки опыта вначале выполняется статистический, а за­тем технологический анализ полинома.

Иногда полином исследуют на экстремум (тогда и задачу называют экстремальной). Но чаще, особенно при необходимости изучения не­скольких оптимизирующих величин, определяют условный оптимум ис­ходя из компромиссных требований, предъявляемых к оптимизируемым величинам. Такие задачи называют компромиссными.

При решении компромиссных задач наиболее важным является тех­нологический анализ полученной математической модели. Он позволяет установить влияние на оптимизируемую величину не только изучаемых факторов, но также эффектов их взаимодействия. В ряде случаев ста­новится возможным достаточно точный прогноз улучшений условий изу­чаемого процесса.

Воспользуемся примером оптимизации процесса тепловой обработки бетона, приведенной в [11], с помощью планированного эксперимента (табл. 6.2, 6.3). Его достоинство в том, что в нем четко прослежена вся цепочка статистического анализа результатов опыта.

Таблица 6.2

Исходные данные

Исходные данные планированного эксперимента	х 1	х 2	х 3
Центр эксперимента Интервал варьирования Верхний уровень ( = + 1) Нижний уровень ( = -1) Звездная точка + a = + 1, 215 Звездная точка – a = – 1, 215	2, 5 37, 5 32, 5 38, 0 32, 0		5, 0 0, 5 5, 5 4, 5 5, 6 4, 4

В качестве оптимизируемой величины принята прочность бетона в 28-суточном возрасте Rсж (или ).

Варьируемыми факторами являются:

– температура предварительного прогрева бетонной смеси Т_пр, º С;

– температура изотермического прогрева Т_из, º С;

– время изотермического прогрева , ч.

Выберем центр эксперимента , интервал варьирования и перейдем к кодовым переменным.

Таблица 6.3

Планирование эксперимента

+1	–1	–1	+1	0, 27	0, 27	0, 27	–1	–1	–1	+1
+1	+1	–1	–1	0, 27	0, 27	0, 27	–1	–1	+1	+1
+1	–1	+1	–1	0, 27	0, 27	0, 27	–1	+1	–1	+1
+1	+1	+1	+1	0, 27	0, 27	0, 27	+1	+1	+1	+1
+1	–1	–1	–1	0, 27	0, 27	0, 27	–1	+1	+1	–1
+1	+1	–1	+1	0, 27	0, 27	0, 27	–1	+1	–1	–1
+1	–1	+1	+1	0, 27	0, 27	0, 27	–1	–1	+1	–1
+1	+1	+1	–1	0, 27	0, 27	0, 27	+1	–1	–1	–1
+1	–1, 215			0, 74	–0, 73	–0, 73
+1	+1, 215			0, 74	–0, 73	–0, 73
+1		–1, 215		–0, 73	0, 74	–0, 73
+1		+1, 215		–0, 73	0, 74	–0, 73
+1			–1, 215	–0, 73	–0, 73	0, 74
+1			+1, 215	–0, 73	–0, 73	0, 74
+1				–0, 73	–0, 73	–0, 73

Исследования проводятся сразу почти в стационарной области, т. е. в области оптимума, так как из опыта (априори) эта область известна. Для описания процесса полиномом второго порядка выбираем ортогональный план полного факторного эксперимента 2³.

Кроме этого, в план введем фиктивную переменную х ₀ = 1. Общее число опытов согласно плану N = 15 (табл. 6.3).

После выполнения всех 15 экспериментов (каждый опыт имел 6 парал­лельных определений) были получены средние значения прочности у.

Для получения ортогонального планирования второго порядка про­изведем преобразования квадратичных переменных:

= 1, 2, 3. (6.4)

Выберем величину интервала для звездных точек – для случая трех переменных a = 1, 215 (табл. 6.2, 6.3). Тогда

,

и для основного планирования

,

а для звездных точек

,

.

Эти преобразования необходимы для смещения при определении свободного члена полинома, а также при расчете коэффициентов квад­ратичных членов

. (6.5)

Уравнение, которым описывается процесс, до преобразования имеет вид:

(6.6)

После преобразований

(6.7)

Все коэффициенты этого полинома при ортогональном планировании определяются и оцениваются независимо друг от друга. Это означает, что если тот или иной коэффициент окажется незначим, его можно отбросить, не пересчитывая все остальные.

Коэффициенты полинома определяются по формуле

, (6.8)

а для определения свободного члена уравнения воспользуемся выражением

. (6.9)

Коэффициенты уравнений (6.6) и (6.7) имеют следующие значения

Знаменатель формулы (6.8) для определения коэффициентов

Знаменатель формулы (6.8) для определения коэффициента имеет вид

;

₄ = –

+ = –1, 08,

Знаменатель формулы (6.8) для определения коэффициентов имеет вид

, ,

,

.

После подстановки значений коэффициентов уравнение примет вид

.

Значимость коэффициентов уравнения определим по -критерию:

(6.10)

где – среднее квадратическое отклонение для коэффициентов.

Дисперсию для коэффициентов определим

. (6.11)

Дисперсию воспроизводимости и среднюю дисперсию воспроизводимости определяем из формулы:

, (6.12)

. (6.13)

Числитель формулы (6.12) определим из выражения

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

Знаменатель формулы (6.12) – это число степеней свободы , с которым определяется дисперсия воспроизводимости

.

Вернемся к определению . Дисперсию для подсчитаем так:

Дисперсии для с учетом выражений:

, = 1, 2, 3,

, = 4, 5, 6,

, = 7, 8, 9, 10

определим следующим образом:

Дисперсию свободного члена представим как

.

Теперь можно определить :

; ;

; ;

;

.

Условие значимости коэффициентов уравнения имеет вид . Табличное значение при ¦ = 75 = 2, 0, поэтому коэффициенты при и оказались незначимыми.

Адекватность (тождественность) описания процесса термообработки полиномом второй степени проверим, используя -критерий

. (6.14)

Дисперсия воспроизводимости определена ранее и равна .

Остаточную дисперсию определим так:

.

Число степеней свободы

где – количество коэффициентов полинома.

Степень свободы ¦₂ определена ранее (¦₂ = 75).

Определим дисперсию

, (6.15)

.