![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Обработка результатов измерений
В результате наблюдений, проведения экспериментов, испытаний у исследователя накапливается ряд характеристик случайной величины х, закон распределения которой точно неизвестен и его следует определить. А. Дискретное распределение. Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной X, которая в ходе испытаний приняла п 1раз значение х 1, п 2раз значение х 2, nk раз значение хk, а S ni = п, то обработка результатов ведётся в следующем порядке.
Пусть имеются основания предположить, что изучаемая величина X распределена по некоторому определённому закону. Чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты наблюдаемых значений, т. е. находят теоретическую частоту Выравнивающими (теоретическими) частотами в отличие от фактически наблюдаемых эмпирических частот называют частоты
где n – число испытаний; Рi – вероятность наблюдаемого значения х, вычисленного при допущении, что х имеет предполагаемое распределение. Итак, выравнивающая частота наблюдаемого значения хi дискретного распределения равна произведению числа испытаний на вероятность этого наблюдаемого значения.
Пример 4.1. В результате эксперимента, состоящего из п = 520 испытаний, в каждом из которых регистрировалось число хi появлений некоторого события, получено следующее эмпирическое распределение: наблюдаемые значения… хi 0 1 2 3 4 5 6 7 эмпирическая частота... ni 120 167 130 69 27 5 1 1 Найти выравнивающие частоты Решение: известно, что параметр l, которым определяется распределение Пуассона, равен математическому ожиданию этого распределения. Поскольку в качестве оценки математического ожидания принимают выборочную среднюю, то и в качестве оценки l, можно принять выборочную среднюю Таким образом, формула Пуассона
принимает вид
Пользуясь этой формулой, найдем вероятность Найдем выравнивающие частоты (результаты умножения округлены до единицы):
Аналогично найдем и остальные выравнивающие частоты. В итоге получим: эмпирические частоты........ 120 167 130 69 27 5 1 1 выравнивающие частоты.... 116 174 131 65 25 7 2 0. Сравнительно небольшое расхождение эмпирических и теоретических (выравнивающих) частот подтверждает предположение, что рассматриваемое распределение подчиняется закону Пуассона. Заметим, что если подсчитать выборочную дисперсию по данному распределению, то окажется, что она равна выборочной средней,
Конечно сравнение эмпирических и теоретических частот «на глаз» дело сложное и требует определенного навыка. Чтобы сделать это обоснованно, надо использовать, например, критерий Пирсона. Проверка гипотезы о распределении случайной величины по закону Пуассона изложена в [9, 10]. Б. Непрерывное распределение. В случае непрерывного распределения вероятности отдельных возможных значений равны нулю. Поэтому весь диапазон возможных значений делят на интервалы или разряды и подсчитывают количество значений mi, величины xi, приходящихся на i -й разряд. Это число делят на общее число наблюдений n и находят частоту разряда или статистическую вероятность:
Сумма частот всех разрядов равна единице:
Составляют таблицу, в которой приведены разряды в порядке их расположения вдоль оси абсцисс и соответствующие им частоты. Эту таблицу называют статистическим, или вариационным рядом. Число разрядов В.Г. Зазимко [11] рекомендует принимать в пределах от 7 до 15; В.А. Вознесенский [5] считает, что их количество не должно превышать 20–25, так как при увеличении числа разрядов резко возрастает трудоемкость статистических расчетов, а точность результатов не изменяется. Длину интервалов hx можно определить из удобства расчетов и общего диапазона значений х, но можно вычислить по выражению hx = где хп и х 1 – крайние числа вариационного ряда соответственно Х maxи Х min; n – число наблюдений. Для построения гистограммы (графического представления статистического ряда) по оси абсцисс откладываем разряды, а по оси ординат – число наблюдений mi, соответствующее частоте Рi.. Получим ступенчатый график, состоящий из прямоугольников разной величины, вначале увеличивающихся, а затем уменьшающихся по высоте. Если соединить точки середины верхней стороны каждого прямоугольника линией, то получится эмпирическая кривая плотности распределения величины х. Площадь, ограниченная этой кривой, равна единице. После построения гистограммы подбирают теоретическую кривую распределения, более точно описывающую статистический материал. Для этого нужно определить теоретические выравнивающие частоты, Если есть основания предположить, что случайная величина X (генеральная совокупность) распределена нормально, то выравнивающие частоты могут быть найдены по формуле
где п – число испытаний (объем выборки); h – длина частичного интервала; s в – выборочное среднее квадратическое отклонение; (хi –середина i -го частичного интервала);
Если величина х подчиняется нормальному закону, то задачу выравнивания можно перевести в задачу о рациональном выборе параметров х и s x. Пример 4.2. Сравним кривые эмпирического и теоретического распределения плотности вероятности прочностных характеристик бетона. Результаты испытаний 180 образцов бетона на прочность сведены в статистический ряд (табл. 4.2), при этом частота разряда, или статистическая вероятность pi определена по формуле (4.31). Статистический ряд для рассматриваемого примера представим графически в виде гистограммы (см. рис. 4.6). Таблица 4.2 Статистический ряд
Для построения теоретической кривой или кривой нормального распределения введем нормированное отклонение
а так же формулами для определения средней арифметической х 0
и среднего квадратического отклонения
где h – размер интервалов, на которые разбита совокупность определений прочности; e С – начало условного отсчета, соответствующее примерно середине общего интервала определения прочности (для данного случая С = 21). Результаты выполненных расчетов сведём в табл. 4.3, по которой удобно делать сравнение кривых эмпирического и теоретического распределения. Используя формулы (4.37), (4.38), определим величины х 0 и s х
Теоретическое число значений прочности
Сравнение эмпирических тi и теоретических Однако определение близости кривых по графику может быть недостаточно точным. Разные исследователи по-разному могут оценивать расхождение между ними. В статистике разработан ряд объективных оценок, называемых критериями согласия. Воспользуемся уже названным ранее критерием Пирсона, основанным на c2-распределении
где тi и Критерий c2 является наиболее состоятельным при большом числе наблюдений. Его состоятельность заключается в том, что он почти всегда отвергает неверную гипотезу, т. е. обеспечивает минимальную ошибку в принятии неверной гипотезы по сравнению с другими критериями. Таблица 4.3 Результаты расчетов
Рис. 4.21. Экспериментальная и теоретическая кривые распределения плотности и вероятности
Критерий c2 применим и тогда, когда теоретические значения параметров функции распределения неизвестны.
Пользуясь табл. 3 прил. 2 в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости 0, 05 находим c2. Если c2кр > c2набл, то расхождение между эмпирической и теоретической кривыми распределения можно признать случайным и незначимым. Число степеней свободы f = к – r – 1(к – число разрядов, r – число параметров для нормального распределения 2: х 0 и s х) f = 9 – 2 – 1 = 6. По табл. 3 прил. 2 находим, что при уровне значимости 0, 05 и f = 6, c2кр = 12, 6, т. е. c2кр > c2набл. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности. При отсутствии таблиц c2 можно воспользоваться формулой Романовского. Если выполняется соотношение
то эмпирическое распределение согласуется с нормальным:
Этот критерий также подтверждает вывод о согласовании с нормальным эмпирического распределения результатов испытаний бетона. Наконец, оценку степени близости наблюдаемого распределения к нормальному можно оценить с помощью l-критерия (по теореме А.Н. Колмогорова, табл. 4.4). Критерий l определяют по выражениям:
где D mах – максимальное отклонение теоретической интегральной функции типа Ф (и)от эмпирической функции; N – накопленные эмпирические частоты, которые определяют последовательным сложением частот; При известном значении lпо табл. 2 прил. 2 находят вероятность P (l). Исходя из практического опыта можно считать расхождение между эмпирическим и теоретическим нормальными распределениями незначительным уже при P (l) ³ 0, 6. Только при значении P (l) < 0, 05 расхождение признают неслучайным, т. е. распределение не соответствует нормальному закону. Таблица 4.4 Определение максимальной разности накопленных частот
По формуле (4.42)
Ближайшее табличное значение l = 0, 3 (табл. 2 прил. 2), а вероятность P (l) = 1. Это значит, что расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями практически отсутствует.
|