![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Нормальное распределение
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х 1наблюдалась n 1раз, х 2 – n 2, х 3 – n 3 раз, а S ni = n – объем выборки. Наблюдаемые значения хi – варианты, а последовательное написание их в возрастающем порядке – вариационный ряд. Числа наблюдений ni называются частотами, а их отношение к объёму выборки Перечень вариант и соответствующих им частот, или относительных частот называется статистическим распределением выборки или законом распределения случайной величины. Собственно законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены значения случайной величины и соответствующие им частоты, относительные частоты или вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения (табл. 4.1). Таблица 4.1 Ряд распределения
Для наглядности строят различные графики распределения. В случае геометрического представления ряда распределения дискретных случайных величин получаем многоугольник распределения (рис. 4.1) или полигон частот.
х 1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 Рис. 4.1. Многоугольник распределения
Для его построения на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты wi, Точки
![]()
Рис. 4.2. Многоугольник дискретного распределения (а); кривая непрерывного распределения (б)
Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет более одного максимума, распределение называется «полимодальным». Иногда встречаются распределения, обладающие посередине не максимумом, а минимумом. Такие распределения называют «антимодальными» (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Антимодальное распределение (а и б см. пояснения к рис. 4.2) Два последних термина см. в разд. 3, где кроме важнейших из характеристик положения – математического ожидания, упоминались и другие, в частности мода (рис. 4.4) и медиана (рис. 4.5).
Рис. 4.4. Мода случайной величиныРис. 4.5. Медиана распределения
Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, когда распределение является симметричным и модальным (т. е. имеет моду) и существует математическое ожидание, то оно совпадает с модой и центром симметрии распределения. Часто применяемой еще одной характеристикой положения – медианой (рис. 4.5), пользуются обычно только для непрерывных случайных величин, хотя формально ее можно определить и для дискретной величины. Медианой случайной величины х называется такое число Me, для которого Р (Х < Ме) = Р (Х > Ме),
т. е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Me. Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам. В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой. Распределение случайных величин является математической моделью вероятностного процесса, отличающегося тем, что элементарные исходы могут проявляться в самой разнообразной форме по численному значению и частоте. Математической модели может быть подобрана физическая модель, а для нее в свою очередь – математическая модель распределения. Итак, ряд распределения является законом распределения для дискретной (непрерывной) случайной величины. Простейшим примером дискретного распределения является ситуация с п равновероятностными исходами. Физической моделью такого распределения являются исходы бросания монеты, кубика и т. д. Но для непрерывной величины ряда не существует. В то же время различные области возможных значений случайной непрерывной величины не являются одинаково вероятными, поэтому и для непрерывной величины существует также распределение вероятностей. В случае непрерывного признака для геометрического представления целесообразно строить гистограмму (рис. 4.6).
Рис. 4.6. Гистограмма частот
Для этого весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частных интервалов длиной D х, находят для каждого частного интервала пi – сумму частот вариант, попавших в i -й интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частные интервалы длиной D х, а высоты равны Вероятность непрерывного события х есть функция от х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины х и обозначается F (x). Функцию распределения называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения величин
Функция распределения непрерывной случайной величины F (х), определяющая вероятность того, что случайная величина х принимает какое-нибудь значение в пределах интервала а, b, определится как
Интегральная кривая этой функции (рис. 4.7) монотонно возрастает от нуля (при х = – ¥) до единицы (при х = ¥). Обратная функция
Рис. 4.7. Интегральная функция распределения
Функция Плотность распределения является пределом отношения вероятности события, состоящего в том, что непрерывная случайная величина принимает значения, лежащие в заданном малом интервале, к длине интервала, когда эта длина стремится к нулю. Кривую, изображающую плотность распределения случайной величины на графике дифференциальной функции распределения (рис. 4.8), называют кривой распределения. Кривые распределения могут иметь чрезвычайно разнообразную форму. Рис. 4.8. Плотность распределения Часто наблюдаются кривые с вершинами, сдвинутыми вправо Отрицательная асимметрия свидетельствует о том, что преобладают варианты с большими значениями, а варианты с малыми значениями встречаются реже. Наоборот, положительная асимметрия свидетельствует о преобладании вариант с малыми значениями, но реже встречаются варианты с большими значениями. Показатель асимметрии вычисляют по формуле
Также часто встречаются кривые с приподнятой вершиной (рис. 4.9, в). Такие кривые распределения называются кривыми распределения с положительным эксцессом. Положительный эксцесс свидетельствует о скоплении большинства вариант в середине ряда, что дает характерный резкий подъём кривой в центре. Более или менее равномерное распределение вариант или скопление их по краям придают кривой распределения плосковершинную, двух-, иногда многовершинную форму (рис. 4.9, г, д, е). Такие кривые называются кривыми распределения с отрицательным эксцессом. Показатель эксцесса вычисляют по формуле
Симметричные кривые распределения, не имеющие ни положительного, ни отрицательного эксцесса, называются кривыми нормального распределения (рис. 4.9, ж). Дифференциальная кривая вместе с осью абсцисс ограничивает площадь, равную единице. Заштрихованная площадь, ограниченная ординатами, проходящими через точки ха и хb, определяет вероятность попадания Функция распределения представляет собой некоторую абстрактную математическую модель, при помощи которой описывают случайные экспериментально наблюдаемые величины. Аналитические выражения функции распределения содержат в себе параметры распределения. Если известен закон распределения случайной величины, то она может быть полностью охарактеризована численными значениями закона её распределения.
Рис. 4.9. Кривые распределения: а – с отрицательной асимметрией; б – с положительной асимметрией; в – с положительным эксцессом; г, д – с отрицательным эксцессом; е – с отрицательным эффектом в высшей его форме; ж – кривая нормального распределения
Заштрихованная на рис. 4.10 площадь равна вероятности того, что случайная величина х заключена в пределах (а, b), т. е.
![]() В большинстве случаев, когда имеет место большое количество измерений (
Графически нормальный закон представлен симметричной относительно ординаты Рис. 4.11. График нормального распределения частот
Основная масса результатов измерений группируется около среднего значения Параметрами нормального распределения являются В практических расчетах обычно используют нормированное распределение, которое получается при переходе от величины х к её функции
Тогда функция примет вид
|