![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
События. Свойства
Наблюдаемые нами события (явления) можно разделить на достоверные, невозможные и случайные. Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. При этом рассматриваются массовые испытания, т. е. испытания, происходящие при неизменных основных условиях неоднократно. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если смешать цемент, воду, песок и щебень при температуре 20 °С, то через некоторое время получим искусственный камень – бетон. Получение бетона – событие достоверное, а названные материалы, температура и время твердения составляют совокупность условий S. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий. Например, если в предыдущем примере из материалов убрать цемент или воду, событие –получение бетона – не произойдет. Случайным (или вероятным) называют событие, которое при осуществлении совокупности условий может произойти, либо не произойти. В приведенном примере случайным будет получение бетона прочностью 20 или 25 МПа. Каждое случайное событие есть следствие действий очень многих случайных причин. Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их велико и закон их действия неизвестен. По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т. е., если речь идет о массовых, однородных случайных событиях. Оказывается, достаточно большое число однородных случайных событий подчиняется определенным закономерностям, а именно, вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей занимается теория вероятностей. Различные события обладают различной степенью вероятности. Понятие вероятности события в своей основе связано с понятием частоты события. В каждом конкретном опыте вероятность события А есть Р(А)
частота события, или статистическая вероятность, которая представляет отношение числа благоприятных случаев т (когда событие произошло) к общему числу случаев п (когда событие могло бы произойти). Причем предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Например, образец гранодиорита не может быть одновременно образцом базальта. События совместны в том случае, если появление одного из них в данных условиях не исключает появление другого. Например, появление бетона класса В30 по прочности на сжатие совместимо с получением тем же бетоном марки W-8 по водонепроницаемости или марки F-200 по морозостойкости. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появляется хотя бы одно из них. То есть, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. Например, для изготовления конструкции объемом 16 м3 потребовалось неоднократно пользоваться бетономешалкой объемом 700 л. Каждый раз, загружая 4 компонента (цемент, воду, песок, щебень), получаем бетонную смесь, постепенно затвердевающую и приобретающую требуемые свойства. То есть, каждый замес (испытание) приводит к достоверному событию. События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Из определения вероятности вытекают следующие её свойства. Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае т = п, следовательно,
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию. В этом случае т = 0, следовательно,
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае
Действительно, из приведенных примеров вероятность появления бетона прочностью 20 МПа при смешении компонентов будет меньше 1, но больше 0. То есть, вероятность – мера объективной возможности случайного события. Она отражает определенную, независимую от проводимого наблюдения структуру самого процесса, в котором наблюдается соответствующее событие, т. е. ее значения обусловлены реальным комплексом условий. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
Наряду с понятием вероятность события используется понятие относительная частота. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события W(A) определяется из формулы
где т – число появлений события; п – общее число испытаний. Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности, определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически, т. е. вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта. В практике испытаний часто требуется определить вероятность событий, экспериментальное воспроизведение которых затруднено или невозможно. В этом случае используются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятность других событий, с ними связанных. Для этого используют основные теоремы теории вероятностей: сложения или умножения вероятностей.
|