![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Основные виды теоретических распределений
Равномерное распределение. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на участке от а до b, если ее плотность
а б Рис. 4.12. Равномерное распределение Функция распределения 0 при
1 при Любой точке в интервале (0 – 1) соответствует одна и та же вероятность. Математическое ожидание или среднее значение и дисперсия равны соответственно
а среднее квадратическое отклонение s = 0, 2887. Примерно 57, 74 % всех случайных реализаций равномерно распределенных случайных величин располагаются в пределах Рассмотрим два частных случая, присущих равномерному распределению (рис 4.13).
У0 уm уn ук у
Рис. 4.13. Равномерное распределение
Плотность такого распределения равна Очевидно:
Вот здесь и возникают два названных частных случая: 1) 2) какова вероятность того, что случайная величина примет значение, например,
Нормальное распределение. Нормальный закон распределения (распределение Гаусса) занимает среди других законов особое положение, с ним связано большинство задач, решаемых в научной и инженерной практике. Случайная величина
а б Рис. 4.14. Нормальное распределение
На рис. 4.15 показаны три кривые плотности нормальных распределений: для всех трех Если случайная величина распределена нормально, то ее отклонение от математического ожидания практически (с вероятностью 0, 9973) не превышает 3 Распределение Стьюдента. Распределением Стьюдента называют отношение нормально распределенной случайной величины
при –
Рис. 4.15 Нормальное распределение Рис. 4.16. Распределение Стьюдента с разными дисперсиями С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. При n = 20 t-распределение уже хорошо аппроксимируется нормальным распределением, а при n = 30 распределение Стьюдента можно заменить нормальным. Распределение c -квадрат. Пусть С увеличением числа степеней свободы распределение c2 медленно приближается к нормальному. Показательное распределение. Показательное или экспоненциальное распределение (рис. 4.18) имеет плотность
Положительную величину l называют параметром показательного распределения. Рис. 4.17. Распределение c-квадрат Рис. 4.18. Показательное распределение
Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины, имеющей показательное распределение, обратно его параметру
Показательное распределение (рис. 4.18) тесно связано с интервалом времени между двумя соседними событиями в стационарном потоке событий. Оно играет большую роль в теориях массового обслуживания, надежности и др. Распределение Гумбеля. Плотность распределения Гумбеля (рис. 4.19) или двойного экспоненциального распределения описывается формулой
Это распределение часто используют для описания влияния снеговых нагрузок на сооружения. Распределение Вейбула. Распределение Вейбула (рис 4.20) описывает явления, связанные с задачами долговечности и усталости, в теории хрупкого разрушения материалов и др. Плотность распределения Вейбула имеет вид
Рис. 4.19. Распределение Гумбеля Рис. 4.20. Распределение Вейбула Распределение Фишера (F-распределение). Распределение F используют для сравнения выборок по дисперсиям; оно имеет асимметричную форму кривой распределения плотности вероятности и зависит только от числа степеней свободы выборочных дисперсий, которые определяются следующим образом:
Помимо приведенных выше типов распределений, можно назвать еще распределения Пуассона (для вероятностей редко встречающихся событий), Пирсона, Парето, Шарлье, Симпсона, Кэптейна, Коши и др., крайне редко используемые инженерами-строителями. Для функций всех распределений имеются таблицы, приведенные в различных математических справочниках. Таблицы используют для проверки согласия статистических данных. И все же из всех законов распределения чаще всего в исследованиях прибегают к нормальному распределению. Им пользуются не только потому, что оно наилучшим образом описывает эмпирический материал, но и потому, что нормальное распределение является хорошо разработанной математической моделью, которой удобно пользоваться для статистического анализа результатов измерений.
|