Основные виды теоретических распределений

Равномерное распределение. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на участке от а до b, если ее плотность на этом участке постоянна (рис. 4.12, а)

. (4.9)

а б

Рис. 4.12. Равномерное распределение

Функция распределения ) равномерно распределенной случайной величины Х геометрически представляет собой площадь, ограниченную кривой распределения и лежащую левее точки х (рис. 4.12, б)

0 при ;

;

1 при .

Любой точке в интервале (0 – 1) соответствует одна и та же вероятность. Математическое ожидание или среднее значение и дисперсия равны соответственно = 0, 5, (4.10)

(4.11)

а среднее квадратическое отклонение s = 0, 2887. Примерно 57, 74 % всех случайных реализаций равномерно распределенных случайных величин располагаются в пределах .

Рассмотрим два частных случая, присущих равномерному распределению (рис 4.13).

P

У₀ у_m у_n у_к у

Рис. 4.13. Равномерное распределение

Плотность такого распределения равна , т. е. случайная величина принимает значения от до . А какова вероятность того, что случайная величина будет принимать значения от до , т. е.

Очевидно:

. (4.12)

Вот здесь и возникают два названных частных случая:

1) , а , тогда Р = 1, т. е., если случайная величина меняется в пределах от до , то вероятность того, что случайная величина находится внутри интервала … равна 1;

2) какова вероятность того, что случайная величина примет значение, например, ? Получаем неожиданный ответ: хотя находится внутри интервала … , вероятность появления величины, равной точно , равна нулю

при . (4.13)

Нормальное распределение. Нормальный закон распределения (распределение Гаусса) занимает среди других законов особое положение, с ним связано большинство задач, решаемых в научной и инженерной практике.

Случайная величина распределена по нормальному закону со средним арифметическим и дисперсией , если ее плотность распределения (рис. 4.14, а) и функция распределения (рис 4.14, б) имеют вид:

;

.

а б

Рис. 4.14. Нормальное распределение

На рис. 4.15 показаны три кривые плотности нормальных распределений: для всех трех = 0; для кривой 1 = 1; для кривой 2 = 2, 5; для кривой 3 = 0, 5.

Если случайная величина распределена нормально, то ее отклонение от математического ожидания практически (с вероятностью 0, 9973) не превышает 3 .

Распределение Стьюдента. Распределением Стьюдента называют отношение нормально распределенной случайной величины к квадратному корню из среднего значения квадратов случайных величин c теми же параметрами распределения (рис. 4.16), т. е. это распределение для величины с плотностью

(4.14)

при – ; – гамма-функция. Параметр называют числом степеней свободы. Он равен n – 1, где – объем выборки.

Рис. 4.15 Нормальное распределение Рис. 4.16. Распределение Стьюдента

с разными дисперсиями

С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

При n = 20 t-распределение уже хорошо аппроксимируется нормальным распределением, а при n = 30 распределение Стьюдента можно заменить нормальным.

Распределение c -квадрат. Пусть являются нормальными независимыми случайными величинами, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение –единице. Тогда сумма квадратов этих величин распределена по закону с степенями свободы (рис. 4.17); если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы равно – 1.

С увеличением числа степеней свободы распределение c² медленно приближается к нормальному.

Показательное распределение. Показательное или экспоненциальное распределение (рис. 4.18) имеет плотность

. (4.15)

Положительную величину l называют параметром показательного распределения.

Рис. 4.17. Распределение c-квадрат

Рис. 4.18. Показательное распределение

Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины, имеющей показательное распределение, обратно его параметру :

. (4.16)

Показательное распределение (рис. 4.18) тесно связано с интервалом времени между двумя соседними событиями в стационарном потоке событий. Оно играет большую роль в теориях массового обслуживания, надежности и др.

Распределение Гумбеля. Плотность распределения Гумбеля (рис. 4.19) или двойного экспоненциального распределения описывается формулой

. (4.17)

Это распределение часто используют для описания влияния снеговых нагрузок на сооружения.

Распределение Вейбула. Распределение Вейбула (рис 4.20) описывает явления, связанные с задачами долговечности и усталости, в теории хрупкого разрушения материалов и др. Плотность распределения Вейбула имеет вид

(4.18)

Рис. 4.19. Распределение Гумбеля Рис. 4.20. Распределение Вейбула

Распределение Фишера (F-распределение). Распределение F используют для сравнения выборок по дисперсиям; оно имеет асимметричную форму кривой распределения плотности вероятности и зависит только от числа степеней свободы выборочных дисперсий, которые определяются следующим образом:

.

Помимо приведенных выше типов распределений, можно назвать еще распределения Пуассона (для вероятностей редко встречающихся событий), Пирсона, Парето, Шарлье, Симпсона, Кэптейна, Коши и др., крайне редко используемые инженерами-строителями.

Для функций всех распределений имеются таблицы, приведенные в различных математических справочниках. Таблицы используют для проверки согласия статистических данных.

И все же из всех законов распределения чаще всего в исследованиях прибегают к нормальному распределению. Им пользуются не только потому, что оно наилучшим образом описывает эмпирический материал, но и потому, что нормальное распределение является хорошо разработанной математической моделью, которой удобно пользоваться для статистического анализа результатов измерений.