![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Параметры математической статистики
При изучении какого-либо свойства древесины, бетона или другого материала часто приходится сталкиваться с тем фактом, что величины, получаемые при их измерении, не одинаковы, а изменяются в различных пределах, т. е. выражаются не одним каким-нибудь числом, а рядом более или менее отличающихся друг от друга чисел. Например, при определении влажности контрольных досок в штабеле были получены следующие числа, %: 19, 8; 17, 4; 18, 3; 19, 0; 18, 9. Каждое из этих чисел есть вариант, а в целом они составляют вариационный ряд, или статистическую совокупность. Так как составить ясное представление об изучаемом свойстве по целому ряду различных чисел не представляется возможным, приходится пользоваться средними величинами. Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности. В средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. Все средние величины делятся на два больших класса: • степенные средние; • структурные средние. К степенным средним относятся наиболее часто применяемые виды, такие как средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя кубическая. В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана. 1. Среднее (или арифметическое среднее) п наблюдаемых значений величин определяется выражением
Для генеральной совокупности среднее арифметическое Х0 называется математическим ожиданием, которое в литературе обозначается ещё буквой М. 2. Дисперсия. Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака х вокруг среднего значения
В знаменателе формулы стоит (п – 1), а не п потому, что среднее арифметическое для выборки отличается от среднего арифметического генеральной совокупности. Знаменатель (п – 1) представляет собой число степеней свободы. Его определяют как число независимых измерений минус число тех связей, которые наложены на эти измерения при дальнейшей обработке материала. При определении выборочной дисперсии по независимым измерениям имеем (п – 1) степеней свободы, так как при подсчете среднего арифметического, которое входит в состав дисперсии, на результаты измерений была наложена одна связь вида
3. Среднее квадратичное отклонение. Среднее арифметическое дает представление о средней величине изучаемого признака или свойства, но его изменчивости, пределов его колебаний не выражает. Величиной, характеризующей среднюю изменчивость изучаемого свойства, является среднее квадратическое отклонение s х. Средним квадратическим отклонением называют положительное значение корня квадратного из дисперсии S =
Среднее квадратическое называют ещё стандартным отклонением, ошибкой или просто стандартом и выражают в единицах того же наименования, что и среднее арифметическое. Знаки ± показывают, что отклонения от среднего арифметического могут быть как в ту, так и в другую сторону. Среднее квадратическое отклонение является одной из наиболее важных статистических величин, с помощью которой при нормальном распределении можно судить о принадлежности того или иного наблюдения к известному уже ряду наблюдений. Теория вероятностей доказывает, что в пределах Х0 ± s х будет находиться 68, 3 % всего числа вариант (683 случая из тысячи). В пределах Х0 ± 2s х будет находиться 95, 4 % всех вариант и в пределах Х0 ± 3s х практически уложится всё количество вариант (99, 7 % или 997 случаев из тысячи) – правило трех сигм (рис. 3.1). Рис. 3.1. Распределение вариант при различных отклонениях от среднего арифметического
Более подробное процентное распределение числа вариант при различных отклонениях от среднего арифметического приведено в табл. 3.1 (для свойств, вариационные ряды которых подчиняются закону нормального распределения). Таблица 3.1
Процентное распределение количества вариант (величины
4. Вариационный коэффициент. Средние колебания отдельных значений какого-либо варьируемого признака или свойства от среднего арифметического хорошо характеризуются средним квадратическим отклонением. Однако при сравнении изменчивости двух или нескольких изучаемых свойств абсолютное значение сигмы, как число именованное, не дает возможности судить, какое из них более изменчиво и какое менее. Поэтому при решении вопроса об изменчивости того или иного свойства лучше вычислить относительную изменчивость этого свойства или вариационный коэффициент, или коэффициент вариации n
5. Средняя ошибка. Величину среднего арифметического всегда находят из сравнительно небольшого количества наблюдений, так как измерить все отдельные значения интересующего свойства невозможно и не нужно. Поэтому, определив среднее арифметическое для какого-либо свойства материала, нельзя быть уверенным, что полученный частный результат точно характеризует его среднюю величину у всех других еще не обследованных объектов. В этом случае хорошо иметь дополнительную характеристику, которая позволила бы по частному значению среднего арифметического судить об общей величине среднего арифметического изучаемого свойства. Такой характеристикой является средняя ошибка среднего арифметического. Её обозначают т
Средняя ошибка выражается в единицах того же наименования, что и среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение. Зная среднее арифметическое и его ошибку, можно судить о надёжности полученной средней величины изучаемого признака. Средняя ошибка дает возможность сравнивать между собой отдельные средние арифметические какого-либо признака и судить о том, достоверна ли разница между двумя средними арифметическими или она является случайной. Достоверность разницы между средними арифметическими подсчитывают по эмпирической формуле (с поправкой на малое число наблюдений):
где Данная формула применима при 5 наблюдениях и более, но при Если величина левой части неравенства равна или больше правой, то различие между М 1 и М 2достоверно, если же она меньше, то различие между М 1 и М 2недостоверно. Вероятность различия, т. е. степень приближения к достоверности может быть оценена по табл. 3.1. В гр. 1 табл. 3.1 находим величину, равную отношению 6. Показатель точности. Подобно вариационному коэффициенту средняя ошибка может быть выражена в процентах от соответствующего ей среднего арифметического. Полученная величина называется показателем точности
Чем меньше показатель точности, тем надежнее результаты исследования. Например, принято считать, что в области лесной промышленности достаточная надежность эксперимента будет обеспечена в том случае, если показатель точности не превышает 5 %. 7. Определение числа наблюдений (численности выборки). При постановке опытов большую практическую важность представляет вопрос о количестве необходимых наблюдений, так как большое число наблюдений связано со значительными затратами средств и времени, а во многих случаях и вовсе невыполнимо. Но при небольшом числе наблюдений результаты опыта могут оказаться малонадёжными или даже недостоверными. Поэтому, уже разрабатывая программу выборочного наблюдения, сразу задают величину допустимого коэффициента вариации n, показатель достоверности t и показатель требуемой точности D
Величина n обычно устанавливается на основании прежних исследований. Если таких данных нет, то в первых опытах его назначают из общих соображений, а затем уточняют на основе полученных результатов. Показатель достоверности t принимается по табл. 3.2. Таблица 3.2 Значения показателя достоверности t
Точность назначается в зависимости от изучаемого свойства и категории испытаний. Вероятность результата оценивается количеством случаев, подтверждающих правильность вывода. В практике экспериментальных работ обычно ограничиваются тремя градациями вероятности: а) Рb = 0, 95, когда правильность вывода не подтверждается только б) Рb = 0, 99, когда правильности вывода противоречит 1 случай из 100. Статистический вывод при такой вероятности считается широко распространённым критерием надежности; в) Рb = 0, 999, когда правильности вывода противоречит 1 случай из 1000. При такой вероятности вывод практически можно считать критерием максимальной строгости. Такая вероятность применима при оценке достоверности наиболее ответственных испытаний.
Пример 3.1. Определить статистические параметры случайной выборки величины х – прочности бетона на сжатие в возрасте 28 суток 24, 8; 28, 1; 29, 8; 30, 4; 31, 2; 32, 2; 34, 8; 35, 8 МПа. Среднее арифметическое выборки
Дисперсия
Среднее квадратическое
Коэффициент вариации
Средняя ошибка среднего арифметического
Показатель точности
Какое количество образцов в выборке будет достаточным для обеспечения вероятности р 1 = 0, 95; р 2 = 0, 99; р 3 = 0, 997 при достигнутых Для названных вероятностей по табл. 3.2 определяем показатель достоверности t t 1 = 1, 96; t 2 = 2, 58; t 3=3;
Кроме названных характеристик вариационного ряда, определяют еще моду и медиану. Медианой те называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные числу вариант. Если число вариант нечетно, Например, для данного ряда медиана равна 30, 4 МПа. Модой М 0 называют варианту, которая имеет наибольшую частоту. Например, для ряда варианта.................1 4 7 9 частота...................5 1 9 3 мода равна 7.
Вопросы для самоконтроля
1. Назовите степенные средние. 2. Назовите структурные средние. 3. Как определить среднее арифметическое? 4. Что называется степенью свободы? 5. Как вычислить дисперсию и среднее квадратическое? 6. Как определить ошибку среднего арифметического? 7. Назовите основные параметры математической статистики? 8. Как определить необходимое число наблюдений?
& Рекомендуемая литература [1, 4, 10, 11, 22].
|