Расчет числовых характеристик распределения и установка доверительных интервалов

Как и при определении закона распределения случайной величины, при расчете числовых характеристик распределения целесообразно все данные об изменении параметра х расположить в вариационный ряд.

Если число наблюдений мало (п < 10), то полученный вариационный ряд непосредственно используется для дальнейших расчетов, если данных много, то простой вариационный ряд преобразуется в сгруппи­рованный (как в примере 4.2). Рассмотрим оба варианта.

Пример 4.3. Определить числовые характеристики эмпирического рас­пределения оценки среднего х и дисперсии S для малой выборки: 6 измерений прочности на сжатие по стандарту через 28 суток тверде­ния цемента, полученных для партии № 61 Рыбницкого цементного заво­да. Исходные данные и вспомогательные величины для расчетов при­ведены в табл. 4.5.

Таблица 4.5

Расчёт числовых характеристик эмпирического
распределения при малом числе наблюдений

Номер измерения по возрастанию							S
Активность R 28(хi)	45, 0	45, 2	45, 8	46, 0	46, 6	48, 8	277, 4
(хi – )	1, 23	1, 03	0, 43	0, 23	–0, 37	–2, 57	–
(хi – )2	1, 51	1, 06	0, 18	0, 05	0, 13	6, 40	9, 33

Оценка средней активности .

Оценка дисперсии .

Оценка среднего квадратичного .

Оценка коэффициента вариации .

Оценки асимметрии и эксцесса для столь малой выборки определять не имеет смысла.

Пример 4.4. Определить числовые характеристики эмпирического распределения для большой выборки: 537 величин паспортной активно­сти Рыбницкого цемента на сжатие по стандарту за 2 года работы заво­да. Исходные данные сгруппированы через 1 МПа в 24 интервала и приведены в табл. 4.6.

Оценка средней активности

МПа.

Оценка дисперсии

.

Оценка среднего квадратического

s = = 3, 85 МПа.

Оценка коэффициента вариации

.

Оценка асимметрии

.

Оценка эксцесса

.

Таблица 4.6

Исходные данные и вспомогательные величины для расчета
эмпирических характеристик распределения активности цемента

Интервалы, МПа	, МПа	mi	рi	e	e mi	e2 mi	хi –	u	f (u)	m ¢ i	m ¢ i окр
28, 5–29, 5 29, 5–30, 5 30, 5–31, 5 31, 5–32, 5 32, 5–33, 5 33, 5–34, 5 34, 5–35, 5 35, 5–36, 5 36, 5–37, 5 37, 5–38, 5 38, 5–39, 5 39, 5–40, 0 40, 5–41, 5 41, 5–42, 5 42, 5–43, 5 43, 5–44, 5 44, 5–45, 5 45, 5–46, 5 46, 5–47, 5 47, 5–48, 5 48, 5–49, 5 49, 5–50, 5 50, 5–51, 5 51, 5–52, 5			0, 004 0, 004 0, 004 0, 015 0, 006 0, 035 0, 030 0, 041 0, 069 0, 106 0, 119 0, 114 0, 095 0, 095 0, 073 0, 047 0, 039 0, 041 0, 032 0, 015 0, 004 0, 004 0, 005 0, 005	–11, 5 –10, 5 – 9, 5 –8, 5 –7, 5 –6, 5 –5, 5 –4, 5 –3, 5 –2, 5 –1, 5 –0, 5 0, 5 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 5, 5 6, 5 7, 5 8, 5 9, 5 10, 5 11, 5	–23 –21 –19 –68 –22, 5 –123, 5 – 88 – 99 –129, 5 –142, 5 – 94, 5 – 32, 0 25, 5 76, 6 97, 5 87, 5 94, 5 121, 0 110, 5	264, 5 220, 5 180, 5 168, 75 802, 75 445, 5 453, 25 356, 25 141, 75 16, 00 12, 75 114, 75 243, 75 306, 25 425, 25665, 50 718, 25 450, 00 144, 5 180, 5 220, 5 264, 5	–11, 6 –10, 6 –9, 6 –8, 6 –7, 6 –6, 6 –5, 6 –4, 6 –3, 6 –2, 6 –1, 6 –0.6 0, 4 1, 4 2, 4 3, 4 4, 4 5, 4 6, 4 7, 4 8, 4 9, 4 10, 4 11, 4	–3, 01 –2, 75 –2, 49 –2, 23 –1, 97 –1, 71 –1, 45 –1, 19 –0, 93 –0, 67 –0, 42 –0, 15 0, 10 0, 36 0, 62 0, 88 1, 14 1, 40 1, 66 1, 92 2, 18 2, 44 2, 70 2, 96	0, 004 0, 009 0, 018 0, 033 0, 057 0, 092 0, 139 0, 197 0, 250 0, 319 0, 365 0, 395 0, 397 0, 374 0, 329 0, 271 0, 208 0, 150 0, 100 0, 063 0, 037 0, 020 0, 010 0, 005	0, 55 1, 25 2, 51 4, 60 7, 95 12, 80 19, 40 27, 50 36, 10 44, 50 50, 90 55, 10 55, 40 52, 10 45, 90 37, 80 29, 00 20, 90 13, 90 8, 80 5, 16 2, 80 1, 40 0, 70

С помощью таблицы и полигона можно определить дополнительные характеристики распределения – моду и медиану.

Приближенное значение моды:

.

Приближённое значение медианы:

.

Близкие значения , М ₀и Me позволяют подтвердить вывод о симметричности распределения, который можно сделать и по величине оценки асимметрии А = 0, 067, близкой к нулю.

Определяемые по выборочным (экспериментальным) данным число­вые характеристики распределения случайных величин: средняя , дисперсия S, асимметрия А и другие – являются лишь оценками число­вых характеристик распределения генеральной совокупности соответст­венно X, s², А и др. Поэтому сами числовые характеристики , S, A рассматриваются как случайные величины, стремящиеся по вероятно­сти к X ₀, s₀, А.

Исследователю необходимо знать в каких границах могут (с определенной вероятностью) находиться X ₀, s², А и другие характеристики генеральной совокупности, если известны величины их оценок.

Вероятность р того, что случайная величина х_i примет значение в интервале х ± D х записывается в виде

. (4.43)

Вероятность р носит название доверительной вероятности или ко­эффициента надежности, а интервал от х – D х до х + D х называется доверительным интервалом.

Обычно при большом количестве испытаний (п > 120) случайная ве­личина распределена по нормальному закону со среднеквадратичной ошибкой

. (4.44)

Следовательно, интервал , (4.45)

где e – аргумент функции нормального распределения.

Оценки нашего распределения = 40, 6, s = 3, 85, n = 9, 5 %, А =0, 067, Е = 0, 3 определены при п =537. Принимая доверительную вероятность 0, 9, что соответствует e = 1, 645 (табл. 5 прил. 2), получаем

,

40, 3 < х < 40,

,

3, 83 < s< 3, 87,

,

0, 090 < n< 0, 1,

,

– 0, 07 < А < 0, 026,

,

–0, 075 < Е < 0, 063.

В большинстве практических задач величина генеральной дисперсии s² неизвестна, а известна лишь S ². При замене в формуле (4.45) s² на S ²вместо нормального распределения используется симметричное
t-распределение (распределение Стьюдента), которое учитывает число испытаний п. Также поступают и в случае малого объема выборки. То­гда интервал D х представляется как

. (4.46)

Вероятность р того, что оценка среднего Х ₀ окажется в довери­тельном интервале D х, определяется равенством

. (4.47)

По этому равенству с помощью таблиц (табл. 4 прил. 2) при заданной доверительной вероятности р (обычно р = 0, 90¸ 0, 95, а для особо точ­ных расчетов р = 0, 99) можно определить границы среднего или, зада­ваясь границами изменения среднего (допуском для ), определить вероятность попадания в интервал ± D х.

В примере 4.3 оценки распределения = 46, 23 МПа и S = 1, 37 Мпа определены при п = 6.

Примем доверительную вероятность 0, 9 и тогда для генеральной средней X интервал D х определится как

,

где t (как двухсторонний критерий) взят при р = 0, 9 и f = 5. Отсюда интервалы X

Р (46, 23 – 1, 13 < х < 46, 23 + 1, 13) = 0, 9,

45, 1 < х < 47, 3.

Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения оп­ределяется более сложно, поскольку генеральная дисперсия связана с выборочной оценкой S величиной c², имеющей асимметричное распре­деление. С этими расчетами можно ознакомиться у В.А. Вознесенского или В.Е. Гмурмана [9, 10].

Решение вопросов доверительных интервалов тесно связано с зада­чей сравнения числовых характеристик распределения с проектными и нормативными величинами.

Рассмотрим пример с определением нормативной и расчетной проч-ностей железобетонных конструкций.

. (4.48)

При расчете железобетонных конструкций нормированный множи­тель принимают равным 2 (и = 2). В этом случае вероятность события Р, что случайная нагрузка не превысит расчетную, можно определить как

Р (В) = Ф (и)при – ¥ < и < 2.

Величина вероятности Р (В) = 0, 997. Это условие неразрушения кон­струкции.

Вероятность противоположного события, т.е. того, что случайная на­грузка превысит расчетную, составит

Р (А) = 1 – Р (В)= 1 – 0, 0997.

Таким образом, в одной из 300 конструкций расчетная случайная на­грузка может превысить нормативную.

Согласно формулам (4.48) коэффициент вариации n _r характеризует важный качественный показатель прочностных свойств бетона. Если n _r мал, т. е. приготавливаемые бетоны имеют высокое качество, среднее значение прочности можно уменьшить.

В настоящий момент нормативный коэффициент вариации для изде­лий, выпускаемых заводами сборного железобетона, принят равным 13, 5 %, а вероятность Р (В)при обеспечении класса бетона – 0, 95. И то­гда класс бетона

. (4.49)

Это значит, что в данном случае нормативная прочность равна сред­ней величине прочности, полученной при испытании бетонных образцов. При меньших величинах коэффициента вариации можно соответственно снижать величину нормативной прочности Rⁿ. При величине коэффи­циента вариации n > 13, 5 % необходимо повышать величину нормативной прочности Rⁿ. Величину коэффициента К понижения или повыше­ния нормативной прочности бетона можно определять, пользуясь фор­мулами

(4.50)

или . (4.51)

В случае, когда n _r < , коэффициент К < 1, a если n _r > ,
то К > 1.

Определим величины К для = 9 % (или = 0, 09) и = 20 % (или = 0, 2). По формулам (4.50) и (4.51) получим

,

.

Вычисленный коэффициент вариации n _r, превышающий норматив­ное значение, свидетельствует о большой неоднородности прочностных свойств бетона в изделиях, выпускаемых заводом. В этих условиях за­вод, изготавливающий сборные железобетонные конструкции, вынужден повысить прочность бетона изделий, а это приведет к перерасходу це­мента. Следовательно, завод должен так изменить технологию произ­водства, чтобы прочностные свойства бетона в изделиях были более однородными, так как коэффициент вариации был меньше нормативно­го значения.

Вопросы для самоконтроля

1. Как можно задать закон распределения случайной величины?

2. Дайте понятие полимодального и антимодального распределения.

З. Как графически изобразить распределение дискретной и непре­рывной величин?

4. Дайте определения «мода» и «медиана».

5. Дайте определение гистограммы.

6. Приведите графическую интерпретацию интегральной и диффе­ренциальной кривых распределения.

7. Дайте определение асимметрии и эксцессу.

8. Как определить показатели асимметрии и эксцесса?

9. Приведите примеры графической интерпретации асимметрии и эксцесса.

10. Дайте определение нормального распределения.

11. Поясните правило трех сигм?

12. Что является параметрами нормального распределения?

13. Какие распределения Вы знаете? Где они используются?

14. Назовите критерии близости распределения к нормальному.

15. Каков порядок обработки результатов измерений?

16. Что называется доверительным интервалом?

17. Объясните понятие «значимость»?

& Рекомендуемая литература [2, 3, 9, 10, 14].