Метод контурних струмів

Метод рівнянь Кірхгофа, хоча й простий за складанням самої системи рівнянь, але громіздкий за обчислювальною роботою – вимагає розв'язання системи із великої кількості (р) рівнянь. Запропонований Дж. К. Максвеллом метод контурних струмів для розрахунку електричних кіл з постійними параметрами зводиться до роз­в'язання системи тільки з " n " рівнянь. В цьому методі вводяться нові невідомі, контурні струми. Кількість їх дорівнює кількості лінійно незалежних кон­турів схеми (n). Метод контурних струмів більш економічний за обчислю­вальною роботою (має меншу кількість рівнянь), ніж метод рівнянь Кірхгофа.

Виведення основних розрахункових рівнянь наведемо на основі скелет­ної схеми, зображеної на рис. 1.42.

Контурні струми за значенням вибираємо такими, щоби струм в будь-якій вітці схеми визначався алгебричною сумою контурних струмів, які проті­кають через цю вітку. Для схеми рис. 1.42. струми віток будуть такими:

де I _к1, I _K2 , …, I _k6 – контурні струми.

Розпочинаючи складання рівнянь для кола з п лінійно незалежними конту­рами, задаємось довільно додатними на­прямками контурних струмів у всіх кон­турах, і домовимось за додатний напрям обходу контуру вибирати напрям, який збігається з його контурним струмом.

Для першого контуру запишемо рів­няння за другим законом Кірхгофа ():

де E ₁₁ – сума всіх ЕРС, які входять в перший контур. Визначаючи цю суму, EРС, напрям яких збігається з напрямом обходу контуру, треба брати зі знаком ''плюс", а ті, що не збігається – зі знаком " мінус".

Підставивши (1.74) в (1.75) і звівши подібні члени, одержимо рівняння для першого контуру, виражене через контурні струми:

Введемо позначення: r _kk – сума всіх опорів, які входять в к-й контур його називають власним опором k- го контуру; r _km = r _mk – сума всіх опорів у загальній (спільній) вітці k- гой т- гоконтуру, його називають взаємним опором k- го та m- го контурів.

Простежимо послідовність складання рівняння (1.76) безпосередньо за схемою: перший доданок (r ₁+ r ₁₀+ r ₇) I _k1 є сумою спадів напруг на власних опорах першого контуру, які виникають під дією першого контурного струму I _К1; другий доданок (- r ₁₀ I _k2) ураховує спад напруг на спільному опорі першого та другого контурів, і викликаного струмом другого контуру, а знак «мінус» ураховує, що струми I _К2 та I _k1 в опорі r ₁₀спрямовані зустрічне; третій доданок ураховує спад напруг на опорі r ₇, викликаний струмом I _K6­(- r ₇ I _K6)а знак «мінус» ураховує, що струми I _K6 та I _K1 в опорі r ₇ теж напрямлені зустрічне.

Отже, рівняння для останніх контурів схеми (рис. 1.42) можуть бути записані аналогічно рівнянню (1.76):

Систему рівнянь (1.76-1.77) можна записати в загальному вигляді для будь-якої схеми, яка має п контурів:

(1.78)

У системі рівнянь (1.78) за додатний напрям обходу к- r o контуру прийнято його контурний струм I _Km, тому складові (r ₁₁ I _K1, r ₂₂ I _K2, …, r _nn I _Kn)матимуть знак " плюс". Якщо всі контурні струми кола напрямлені однаково (за годинниковою стрілкою чи проти, а так рекомендується спрямовувати), то останні складові r _ms I _ks ()в системі рівнянь (1.78) виступатимуть із знаком " мінус", тому що контурний струм I _ks в опорі r_ms завжди буде напрямлений зустрічне контурному струму I _km, напрям якого вибрано за додатний напрям обходу m -го контуру.

Послідовність проведення розрахунку така: 1) для заданої електричної схеми визначаємо q, p, п; 2) вибираємо додатні напрями контурних струмів і записуємо для них систему з п рівнянь (1.78); 3) розв'язуємо цю систему рів­нянь і знаходимо числові значення контурних струмів: I _k1, I _k2, …, I _kn, 4) позна­чаємо умовно додатні напрямки струмів у вітках схеми та знаходимо їх як алгебричну суму контурних струмів, що протікають через цю вітку; 5) переві­ряємо правильність розв'язання задачі за другим законом Кірхгофа для контурів схеми.

Приклад 1.3. Застосування методу контурних струмів для розрахунку струмів у електричному колі з постійними параметрами покажемо на схемі, зображеній на рис. 1.41. Схема має чотири контури (n = 4), а отже, і чотири контурні струми. Додатні напрями контурних струмів за годинниковою стрілкою. Система рівнянь, складених для контурних струмів, згідно із (1.78), буде такою:

1. (r ₁+ r ₀₁+ r ₂+ r ₀₂) I _k1–(r ₂+ r ₀₂) I _k2= E ₁– E ₂

2. (r ₂+ r ₀₂+ r ₄+ r ₅+ r ₀₅) I _k2–(r ₂+ r ₀₂) I _k1– r ₄ I _k3= E ₂– E ₅

3. (r ₃+ r ₆+ r ₄) I _k3– r ₄ I _k2– r ₆ I _k4=0

4. (r ₆+ r ₇+ r ₀₇) I _k4– r ₆ I _k3= – E ₇

Підставимо числові дані величин r ₀, r, E:

1. (18 + 2 + 9 + l) I _kl – (9 + 1) I _k2 = 50 – 20;

2. (9 + 1 + 40 + 48 + 2) I _k2 – (9 + 1) I _k1 – 40 I _k3 = 20 – 100;

3. (39 + 30 + 40) I _k3 – 40 I _k2 – 30 I _k4 = 0;

4. (30 + 50 + 0) I _k4 – 30 I _K3 = – 50.

Розв'язавши цю систему рівнянь відносно значень контурних струмів I _k1… I _k4, отримаємо:

I _k1=0, 608 A; I _k2=-1, 176 A; I _k3=-1, 091 A; I _k4=-2, 068 A;

Позначимо додатні напрямки струмів у вітках схеми й визначимо їх значення через контурні струми:

I ₁= I _k1=0, 608 A; I ₂= I _k2– I _k1=-1, 176–0, 608 Ф=-1, 784;

I ₃= I _k3=-1, 091 А; I ₄= I _k2– I _k3=-1, 176–(-1, 091)=-0, 085 А;

I ₅= I _k2=-1, 176А; I ₆= I _k4– I _k3=-2, 068–(–1, 091)=-0, 977 А;

I ₇= – I _k1= –(–2, 068)=2, 068 A.

Перевірка. За другим законом Кірхгофа () проведемо перевірку для будь-яких контурів, наприклад, для першого та четвертого.

(r ₁+ r ₀₁) I ₁–(r ₂+ r ₀₂₁) I ₂= E ₁– E ₂ і в цифрах:

(18+2) 0, 608–(9+1) (-1, 784)=50-20, чи 12, 16+17, 84=30.

R ₆ I ₆-(r ₇+ r ₀₇) I ₇=- E ₇ і в цифрах:

-0, 977 30-2, 068 (10+0)=-50 чи -50, 011=-50