Метод рівнянь Кірхгофа

В цьому методі розглядаються складні електричні кола, особливо такі, в яких діють дві або більше ЕРС, увімкнені у різні вітки схеми. Розв'язання та­ких задач методом перетворення достатньо складне, а в деяких випадках, й неможливе. Пропонований нижче метод рівнянь Кірхгофа дає змогу розв'язувати як завгодно складні електричні схеми без їх трансфігурацій.

Нехай складне коло складається з р віток, має q вузлів (рис. 1.39) і кількість контурів n = р – (q – 1). Як правило, для електричних схем відомі параметри віток – їх опори, та значення і напрямки діючих в схемі ЕРС. Розрахунок буде зводитися до розрахунку значень струмів у вітках схеми, хоча завдання може ставитися й по-іншому.

Оскільки схема має р віток, то невідомих струмів у схемі буде теж p і для їх розрахунку треба скласти p рівнянь.

За першим законом Кірхгофа (S I = 0) можемо скласти q –1 лінійно неза­лежних рівнянь (на одиницю менше ніж вузлів). Застосовуючи другий закон Кірхгофа , можна скласти стільки рівнянь, скільки лінійно незалежних замкнутих контурів (n) має схема. Для незалежності рівнянь або, як кажуть, для незалежності контурів, ці конту­ри необхідно вибирати так, щоб кожен наступний контур відрізнявся від по­передніх, принаймні однією новою віткою. Ця умова є достатньою, але не зав­жди необхідною. Наприклад, якщо розглянути схеми (рис. 1.40) і вибирати контури в такій послідовності, як показано на схемах, то всі вітки для контурів: 3-у схемі (а), 4-у схемі (б) та 5 – у схемі (в) вже увійшли в рівняння попе­редніх контурів, але кількість рівнянь для контурів цих схем ще буде недос­татньою. В таких випадках недостатню кількість рівнянь за другим законом Кірхгофа складають для контурів, всі вітки яких уже увійшли в попередні кон­тури. Отже, критерієм визначення кількості лінійно незалежних контурів є співвідношення n = р – (q – 1).

Отже, за законами Кірхгофа можна скласти (q – 1)+(q – 1)+ p – (q –1) = р рівнянь. А це означає, що кількість рівнянь буде дорівнювати кількості невідо­мих струмів (р) у вітках схеми. Розв'язавши сумісно ці рівняння, одержимо числові значення струмів віток схеми.

Послідовність проведення розрахунку така: 1) для заданої електричної схеми визначаємо кількість вузлів (q), віток (р) і контурів (n); 2) вибираємо умовно-додатні напрямки струмів у вітках схеми (довільно); 3) за першим за­коном Кірхгофа складаємо

(q – 1) рівнянь, а за другим законом n рівнянь; реко­мендується для всіх контурів вибирати однакові додатні напрямки їх обходу, наприклад, всі за годинниковою стрілкою (чи проти); 4) сумісно розв'язуємо складену систему рівнянь і одержуємо числові значення струмів віток.

Якщо в результаті розрахунку кола які-небудь струми будуть виражені від'ємними числами, то це означає, що напрям руху додатних зарядів спрямо­вані протилежно вибраним умовно-додатним напрямам струмів цих віток. Напрямлення стрілок струмів цих віток змінювати не треба.

Розрахунок електричних кіл методом рівнянь Кірхгофа є основним. За допомогою цього методу можна розрахувати будь-яке електричне коло. Однак цей метод громіздкий, тому що вимагає розв'язування системи з кількістю рівнянь, що дорівнює кількості віток кола. Всі інші методи, які застосовуються для розрахунку електричних кіл, базуються на законі Ома і законах Кірхгофа.

Баланс потужності в електричному колі. В § 1.9 формулою (1.49) був виражений баланс потужності в електричній схемі, яка складалась з послідов­ного сполучення Е, r ₀ та R ₁₁. Якщо електричне схема має р віток, в кожній вітці є резистивний опір r, джерело ЕРС Е з внутрішнім опором r₀, то баланс потужності в такій схемі визначається виразом:

(1.73)

де Е _К І _К – потужність генератора (джерела електроенергії) k -і вітки; r _0k I _k² – потужність, яка витрачається на внутрішньому опорі самого генератора; r _k I _k² – потужність, яка виділяється в опорі r _к k -ї вітки.

Компоненти Е _k І _k можуть бути як додатними, так і від'ємними. Якщо Е _к І _к> 0 то відповідні джерела ЕРС працюють у режимі генераторів, а якщо Е _к І _к< 0 – то в режимі приймачів електричної енергії.

Розрахунок складного електричного кола за методом рівнянь Кірхгофа проілюструємо на прикладі.

Приклад 1.2. Розрахувати струми у всіх вітках електричного кола, схема якого

наведена на рис. 1.42. Параметри елементів електричного кола мають такі зна­чення:

Е = 50 В, r ₀₁ = 2 Ом,

r ₁ = 18 Ом, Е ₂ = 20 В, r ₀₂ = 1 Ом,

r ₂ = 9 Ом, r ₃ = 30 Ом, r ₄= 40 Ом,

Е ₅ = 100 В; r ₀₅=2Ом, r ₅ =48 Ом,

r _б=30 Ом, E ₇ = 50 В, r ₀₇ =0, r ₇ = 10 Ом.

1. Визначимо кількість вузлів, віток і контурів: q = 4, р = 1, n = 4.

2. Довільно вибираємо і позначаємо на схемі умовно-додатні напрями струмів у вітках.

3. Складаємо q -1 = 4-1 = 3 рівняння за першим законом Кірхгофа (для вузлів 1, 2, 3), та n =4 рівняння за другим законом Кірхгофа для контурів I-IV, прийнявши додатні напрямки обходу контурів за годинниковою стрілкою:

1. – I ₁– I ₂+ I ₅=0

2. I ₁+ I ₂– I ₃– I ₄=0

3. I ₃+ I ₆+ I ₇=0

4. (r ₁+ r ₁₀) I ₁–(r ₂+ r ₂₀) I _­2­= E ₁– E ₂

5. (r ₂+ r ₂₀) I _­2­+ r ₄ I ₄+(r ₀₅+ r ₅) I _­5­= E ₂– E ₅

6. r ₃ I ₃– r ₄ I ₄– r ₆ I ₆=0

7. r ₆ I ₆–(r ₇+ r ₀₇) I ₇= – E ₇

В систему рівнянь (1...7) підставимо числові значення величин Е, r ₀ та r.

1. – I ₁– I ₂+ I ₅=0

2. I ₁+ I ₂– I ₃– I ₄=0

3. I ₃+ I ₆+ I ₇=0

4. (18+2) I ₁–(9+1) I ₂=50-20

5. (9+1) I ₂+40 I ₄+(48+2) I ₅=20-100

6. 30 I ₃–30 I ₆–40 I ₄=0

7. 30 I ₆–(0+10) I ₇=50

Розв'язавши цю систему рівнянь, одержимо числові значення струмів віток схеми:

I ₁=0, 608 А; I ₂ = -1, 783 А; I ₃ = -1, 090 А; I ₄ =-0, 084 A; I ₅ = -1, 175А; I ₆ = -0, 977А; I ₇ = 2, 067 А.

Струми I ₁ та I ₇ (зі знаком " плюс") в електричному колі мають таке спря­мування, яке позначено на схемі, а решта струмів (зі знаком " мінус") мають в елек­тричній схемі протилежне спрямування (напрями стрілок змінювати не треба).

За формулою (1.73) складемо баланс потужностей. Потужність джерел електричної енергії:

Втрати потужності в самих джерелах електроенергії:

Потужність, яка витрачається в опорах віток схеми:

Отже, 216, 671 – 6, 684 = 208, 987 Вт, що дорівнює потужності, яку генера­тори ЕРС виділяють в опорах схеми. Збігання числових даних підтверджує правильність розв'язання задачі.