Решение систем линейных уравнений (метод Крамера).

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(1.6)

Составим из коэффициентов при неизвестных и свободных членов три определителя и (1.7)

Решением системы называется совокупность чисел , которые, будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определённой, если она имеет только одно решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения.

Легко видеть, что второй и третий определители получаются из первого заменой столбца соответствующих индексу коэффициентов столбцом свободных членов. Правило Крамера решения системы линейных уравнений заключается в использовании соотношений ; (1.8) Отметим, что использовать их можно при ∆ ≠ 0. Это тот случай, когда система определена и совместна (т.е. имеет единственное решение). Если ∆ = 0, а хотя бы один из определителей ∆ _x, ∆ _y отличен от нуля ((∆ _x)²+(∆ _y)² ≠ 0), то система несовместна (т.е. не имеет решений), а если D = ∆ _x = ∆ _у = 0, то система неопределена и имеет бесконечное множество решений.

Аналогично правило Крамера формулируется и для системы из трех (или n) линейных уравнений с тремя (или n) неизвестными.

(1.9) Þ (1.8') (1.7')

А D_x, D_y, D_z получаются из D заменой столбца соответствующих коэффициентов столбцом свободных членов. Аналогично проводится и исследование системы (возможны те же три случая).

Если свободный член (правая часть) линейного уравнения равен нулю- уравнение называется однородным. Однородной называют и систему таких уравнений (система (1.9) при d₁=d₂=d₃=0). При D 0 она имеет единственное решение (x=y=z=0), называемое тривиальным. Если же D=0, то система сводится либо к двум, либо к одному уравнению с тремя неизвестными. В этих случаях однородная система имеет бесконечное множество нетривиальных решений.

Если (1.6) сводится (при d₁=d₂=d₃=0) к двум линейным уравнениям, решения системы можно найти по формулам:

(1.10)

где может принимать любые значения.

Контрольные вопросы.

1) Какой вид имеют формулы Крамера и в каком случае они применяются?