Векторное произведение.

Векторным произведением вектора ` а на вектор ` b называется вектор ` с = `а ´ `b, определяемый следующим образом (рис 1.6):

1) |`с | = с = ab sin j (площади параллелограмма, построенного на ` а и` b; j – угол между векторами)

2) ` с перпендикулярен ` а и` b

3) векторы` а, `b, `с после приведения к общему началу образуют (так же как `i, ` j, `к) правую тройку векторов.

(Это значит, что если смотреть с конца вектора` с на векторы ` а и ` b, то вектор ` а для совмещения с вектором ` b поворачивается против часовой стрелки через наименьший угол.)

Свойства векторного произведения.

1) ` а ´ `b = -`b ´ `а (векторное произведение не обладает переместительным свойством).

2) `а ´ `b = 0 если `а = 0, `b = 0 или `а ||`b (j = 0)

3) (m`а) ´ `b = `а ´ (m`b) = m`а ´ `b (сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю)

4) `а ´ (`b +`с) = `а ´ `b +`а ´ `с (распределительное свойство)

Легко убедиться (см. свойства 1 и 2), что `i `i = `j `j = `к `к = 0;

`i `j = –`j ` i = к; `j `к = –`к `j = `i; ` i `к = – `i `к = `j

Эти соотношения наглядно иллюстрируются следующим рисунком –

если два вектора перемножаются «против часовой стрелки»

(положительное направление обхода окружности) – третий

вектор получается «с плюсом»: ` j ´ `к =`i; если “по

часовой” – с минусом: ` к ´ ` j = –`i.

Найдем векторное произведение, если вектора заданы своими координатами. `а ´ `b = (`ia<sub>x</sub> + `ja_y + `кa<sub>z</sub>) (`ib_x + `jb<sub>y</sub> + `кb_z) = `i ´ `ia_xb_x + +`j ´ `ia_yb_x +`к ´ `ja_zb_x +`i ´ `ja_xb_y +`j ´ `ja_yb_y + `к ´ `ja_zb_y +`j ´ `к a_xb_z + +`j ´ `кa_yb_z +`к ´ `кa_zb_z =`i (a<sub>y</sub>b<sub>z</sub> – a<sub>z</sub>b<sub>y</sub>) – `j (a_xb_z – a_zb_x) +`к (a_xb_y – a_yb_x).

Сравнив полученное выражение с (1.6), легко убедиться в том, что векторное произведение векторов ` а и` b, заданных в разложении по декартову базису, удобнее всего вычислять по формуле

(1.22)

Контрольные вопросы.

1) Что называется векторным произведением векторов? Каковы его свойства и выражение через координаты векторой-сомножителей?

2) Каковы условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов и как они выражаются через координаты векторов?

1.5.4. Смешанное (векторно – скалярное) произведение векторов.

Смешанным произведением векторов ` а, `b, `с называют скалярное произведение вектора ` а ´ `b на вектор ` с, т.е. `а`b`с = (`а ´ `b)`с (1.23)

Свойства смешанного произведения:

1) смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

в) перемножаемые векторы компланарны.

2) смешанное произведение не изменится, если знаки векторного и скалярного произведения поменять местами, т.е (`а ´ `b)`с = `а (`b ´ `с).

3) смешанное произведение не меняется, если перемножаемые векторы переставлять в круговом порядке: ` а `b`с = `b`с`а = `с`а `b

4) при перестановке двух любых векторов смешанное произведение меняет знак: ` b`а `с = –`а `b`с; `с `b`а = –`а `b`с; `а `с`b = –`а `b`с

Если векторы заданы своими координатами, то: (1.24)

Условие компланарности векторов принимает вид:

(1.25)

(Компланарные вектора параллельны одной плоскости; векторное произведение двух векторов даст вектор, перпендикулярный этой плоскости и, соответственно, третьему вектору и их скалярное произведение будет равно нулю).

Объемы призмы V₁ и пирамиды V₂ построенных на ` а, `b, `с определятся так: V<sub>1</sub> = |`а `b`с | и V₂ = 1 / 6 |`а `b`с | (1.26).

Контрольные вопросы.

1) Что называется смешанным произведением векторов? Каковы его свойства и выражение через координаты векторов-сомножителей?

2) Каковы условия компланарности трёх векторов и как они выражаются через координаты векторов?

 

1.5.5. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Характеристическим уравнением матрицы называют уравнение = 0 (1.27)

Корни этого уравнения называют характеристическими числами (собственными значениями) матрицы.

Система уравнений , в которой l имеет одно из значений и определитель которой в силу этого равен нулю, определяет тройку чисел (х₁, х₂, х₃), соответствующую данному характеристическому числу. Эта совокупность чисел с точностью до постоянного множителя определяет ненулевой вектор , называемый собственным вектором матрицы. Таким образом, квадратная матрица 3-его порядка имеет три собственных значения и три собственных вектора. (В общем случае среди собственных значений могут быть и кратные (одинаковые), в том числе и комплексные и мнимые. Собственные значения симметрической матрицы- только действительные числа.) Векторы эти могут быть записаны в матричной форме, в виде вектора-столбца, где t – произвольное постоянное

число. (1.28)

(Зачастую его удобнее использовать, чем уже привычный вектор-строку).

 

Пример: Найти собственные значения и собственные векторы матрицы: . Характеристическое уравнение матрицы примет вид: Раскроем определитель по элементам первой строки

Теперь можно найти собственные векторы матрицы

 

I.

 

Используя (1.10) найдём

II.

 

(1) - разделим 3-ий столбец на 2, (2) - заменим строки столбцами, (3) - вычтем из 2-ой строки 1-ую, (4 - вычтем из 3-ей строки 2-ую, используя (1.10) найдём:.

III. Аналогично вычисляется собственный вектор и для .

 

Контрольные вопросы.

1) Что называют характеристическим уравнением матрицы?

2) Что такое характеристические числа (собственные значения) матрицы?

3) Что такое собственный вектор матрицы?