Векторы. Основные операции над векторами.

Зададим на плоскости хОу две произвольные точки А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂) (рис.1.4). Длина отрезка АВ легко определяется из прямоугольного треугольника АВВ` и составит:

, где (АВ)_х и (АВ)_у – проекции отрезка АВ на соответствующие оси. Эта величина определена своим численным

значением и называется скалярной.

Геометрическим вектором называют направленный отрезок, обозначают его `точки А и В – начало и конец вектора) и характеризуют двумя параметрами: модулем (длиной) (обозначается | | = АВ) и направлением. Вектор, который без изменения длины и направления можно перенести в любую точку пространства, называют свободным. (В предлагаемом курсе рассматриваются эти векторы). Вектор удобнее обозначать ` а, ` b и т.д. Векторы ` а и` b равны (` а =`b), если совпадают их длины | а | = |`b| или а = b) и направления. Если модули равны, а направления противоположны, векторы отличаются знаком т.е. = – . Суммой векторов ` а и`b называют вектор ` с =`а +`b, определяемый (рис.1.5) по правилу треугольника: начало ` b совмещают с концом ` а, `с соединяет начало ` а с концом` b. ( = + на рис 1.5). Произведением вектора ` а на скаляр l (lÎ R) называют вектор l `а, длина которого равна |l`a| = |`a| |l|. Если положить l = 1/а получим ` a / a =`a₀ – вектор единичной длины, имеющий тоже направление, что и ` a (единичный вектор). При l = 0 получим ` a × 0 =`0 (нуль вектор).

Операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр называют линейными.

Сумму вида , где - скаляры, называют линейной комбинацией векторов (Или говорят, что вектор линейно выражается через ) Векторы называют линейно независимыми, если ни один из них не выражается линейно через другие (не может быть представлен их линейной комбинацией). Формальное определение таково: векторы а₁, а₂, …, а_n называют линейно – зависимыми, если l₁`а<sub>1</sub> + l<sub>2</sub>`а₂ +…+l_n`а_n = 0 (1.15),

где l₁, l₂, …, l_n – числа, хотя бы одно из которых отлично от нуля. В этом случае один из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

Если соотношение (1.15) выполняется только в случае, когда l₁ = l₂ =… = l_n = 0, то `а<sub>1</sub>, `а₂, …, `а_n линейно независимы.

Вернемся к рис.1.4. Зададим направления осей Ох и Оу единичными векторами ` i и` j соответственно. Очевидно, что = + . Но очевидно также, что = `i × АВ` = `i × (АВ)<sub>х</sub> и = `j × В`B = `j × (АВ)_у. Таким образом вектор ` a в двумерных декартовых координатах можно представить в виде: ` a = a_x `i + a<sub>y</sub> `j () а в трехмерных ` a = a<sub>x</sub> `i + a_y `j + а<sub>z</sub>`к, где а_х, а_у, а_z – проекции вектора` a на соответствующие оси, , а i, `j, `к – единичные векторы этих осей. Такое представление вектора называется разложением его по декартову ортонормированному базису. (Системе линейно независимых единичных векторов ` i, `j, `к). (Базисом на плоскости называют любую упорядоченную пару ` е<sub>1</sub>, `е₂ линейно независимых векторов. Вектор ` a на плоскости можно единственным образом разложить по базису, т.е. представить в виде ` а = а₁`е<sub>1</sub> + а<sub>2</sub>`е₂ (а₁, а₂ Î R), где а₁ и а₂ – координаты вектора ` а в выбранном базисе (проекции вектора ` а на соответствующие оси, направления которых заданы векторами` е<sub>1</sub> и `е₂). Вектор в разложении по базису запишется в виде ` а(а₁, а₂).

Аналогично определяется базис в трехмерном пространстве, где любой вектор можно представить в виде ` а = а<sub>1</sub>`е₁ + а₂`е<sub>2</sub> + а<sub>3</sub>`е₃ или ` а(а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, а<sub>3</sub>), где а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, а<sub>3</sub> координаты вектора ` а в базисе (`е<sub>1</sub>, `е₂, `е₃).

Ортонормированным называется базис взаимноперпендикулярных векторов единичной длины (ортов).

Направление `а определяется углами a, b, g образованными с осями Ох, Оу, Оz соответственно. Направляющие косинусы вектора ` а определяются выражениями: (1.16)

и связаны соотношением: cos²a + cos²b + cos²g = 1 (1.17).

Линейные операции над векторами, данными в разложении по декартову базису записывают так: ` с = `а + `b = (a<sub>x</sub> + b<sub>x</sub>)`i +(a_y + b_y)`j + (a<sub>z</sub> + b<sub>z</sub>)`к (1.18)и `а l = a_x li + a_y lj + a_z lк (1.19)

Произвольной точке М (х, у, z) можно поставить в соответствие вектор ` r, соединяющий начало координат с точкой М, называемый радиусом – вектором точки М и обозначаемый `r (М). Очевидно, что `r = `i x + `j y + `кz, где x, y, z координаты этой точки. Вектор где А (x₁, y₁, z₁) и В (x₂, y₂, z₂) начало и конец вектора можно представить в виде = `r<sub>2</sub> – `r₁.

Контрольные вопросы.

1) Что называется вектором? Что называется модулем вектора?

2) Как определяется равенство векторов?

3) Как определяются операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр (линейные операции над векторами)? Каковы их свойства?

4) Как определяются координаты вектора в пространстве?

5) Как выражаются модель вектора и его направляющие косинусы через координаты вектора?

6) Как выражаются координаты вектора через координаты точек, являющихся началом и концом этого вектора?

7) Напишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве.

8) Как производится сложение векторов и умножение вектора на скаляр (линейные операции над векторами), если векторы заданы своими координатами?