Линейные преобразования.

Говорят, что в линейном пространстве R задано преобразование А, если каждому вектору по некоторому правилу ставится в соответствие вектор А . Преобразование называют линейным, если для любых х и у и любого действительного числа выполняются равенства А(х+у)=Ах+Ау и А( х)= Ах (его можно рассматривать как линейное преобразование координат точки или вектора- переход к другим координатам). Пусть в пространстве R³ с базисом задано линейное преобразование А. Каждый из векторов можно единственным образом разложить по векторам базиса

матрица линейного преобразования А в базисе . (аналогично - в пространстве при ).

Действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами. Например, если вектор переводится в вектор преобразованием А, а вектор переводится в вектор преобразованием В, это равносильно преобразованию С, переводящему вектор в вектор (его называют произведением составляющих преобразований).

Матрица этого линейного преобразования С = ВА.

Пример: Даны два линейных преобразования

и или и , где и

Искомое преобразование С определится произведением А и В

и .

Вид матрицы линейного преобразования определяется выбором базиса. Если за базис принять совокупность собственных векторов (см. 1.5.5), то матрица линейного преобразования принимает диагональный вид, причём на главной диагонали стоят собственные значения. Например, в R² это матрица , линейное преобразование: .

Число собственных векторов может быть меньше размерности пространства. В этом случае простейшая матрица линейного преобразования формируется иначе. Рассмотрим в n -мерном базисе преобразование F вида:

Матрица этого преобразования в базисе обозначается и называется n -мерной жордановой клеткой соответствующей числу .

Говорят, что матрица А имеет каноническую жорданову форму, если по главной диагонали её расположены жордановы клетки, а все остальные элементы - нули.

При этом возможно, что или для некоторых номеров i и j.

Контрольные вопросы.

1) Что называют линейным преобразованием?