Плоскость.

Рассмотрим в декартовом базисе произвольную плоскость Р и вектор нормали (перпендикулярный) к ней ` n (А, В, С). Возьмем в этой плоскости произвольную фиксированную точку М<sub>0</sub>(х<sub>0</sub>, у<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>) и текущую точку М(х, у, z). Очевидно, что × `n = 0 (2.24)

(см.(1.20) при j = p /2). Это уравнение плоскости в векторной форме. Переходя к координатам, получим общее уравнение плоскости

А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0 Þ Ах + Ву + Сz + D = 0 (2.25).

(D = –Ах₀– Ву₀ – Сz₀; А² + В² + С² ¹ 0).

Можно показать, что в декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет плоскость, (т.е. плоскость есть поверхность первого порядка и поверхность первого порядка есть плоскость).

Рассмотрим некоторые частные случаи расположения плоскости, заданной общим уравнением:

А = 0 – параллельна оси Ох; В = 0 – параллельна оси Оу; С = 0 – параллельна оси Оz. (Такие плоскости, перпендикулярные одной из координатных плоскостей, называют проектирующими); D = 0 – проходит через начало координат; А = В = 0 – перпендикулярна оси Оz (параллельна плоскости хОу); А = В = D = 0 – совпадает с плоскостью хОу (z = 0). Аналогично анализируются все остальные случаи.

Если D ¹ 0, то, разделив обе части (2.25) на - D, можно привести уравнение плоскости к виду: (2.26),

а = – D /А, b = –D/ В, с =–D /С. Соотношение (2.26) называетcя уравнением плоскости в отрезках; а, b, с – абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ох, Оу, Оz, а |a|, |b|, |c| – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на соответствующих осях от начала координат.

Умножая обе части (2.25) на нормирующий множитель (mD < 0) получим нормальное уравнение плоскости:

xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (2.27)

где cosa = Аm, cosb = Вm, cosg = Сm – направляющие косинусы нормали к плоскости, р – расстояние до плоскости от начала координат.

Рассмотрим основные соотношения, используемые в расчетах. Угол между плоскостями А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0 легко определить как угол между нормалями этих плоскостей `n₁ (А₁, В₁, С₁) и

`n₂ (А₂, В₂, С₂): (2.28)

Из (2.28) легко получить условие перпендикулярности

А₁А₂ + В₁ В₂ + С₁ С₂ = 0 (2.29)

и параллельности (2.30) плоскостей и их нормалей.

Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀) до плоскости (2.25)

определяется выражением: (2.31)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М₁(х₁, у₁, z₁), М₂(х₂, у₂, z₂), М₃(х₃, у₃, z₃) удобнее всего записать используя условие компланарности (1.25) векторов где М(х, у, z) – текущая точка плоскости.

(2.32)

Приведем уравнение пучка плоскостей (т.е. множества плоскостей, проходящих через одну прямую) – его удобно использовать в ряде задач.

(А₁х + В₁у + С₁z + D₁) + l(А₂х + В₂у + С₂z + D₂) = 0 (2.33)

Где l Î R, а в скобках - уравнениядвух любых плоскостей пучка.

Контрольные вопросы.

1) Как проверить, что данная точка лежит на поверхности, заданной данным уравнением?

2) Каков характерный признак, отличающий уравнение плоскости в декартовой системе координат от уравнения других поверхностей?

3) Как расположена плоскость относительно системы координат, если в её уравнении отсутствует: а) свободный член; б) одна из координат; в) две координаты; г) одна из координат и свободный член; д) две координаты и свободный член?