Прямая.

Плоскости, нормали которых не коллинеарны, или пересекаются, однозначно определяя прямую как линию их пересечения, что и записывается следующим образом:

(2.34)

Через эту прямую можно провести бесконечно много плоскостей (пучок плоскостей (2.33)), в том числе и проектирующие ее на координатные плоскости. Чтобы получить их уравнения, достаточно преобразовать (2.34), исключив из каждого уравнения по одной неизвестной и приведя их, например, к виду (2.34`).

Поставим задачу – провести через точку М₀(х₀, у₀, z₀) прямую, параллельную вектору ` S (l, m, n) (его называют направляющим). Возьмем на искомой прямой произвольную точку М(х, у, z). Векторы и должны быть коллинеарны, откуда получаем канонические уравнения прямой.

(2.35) или (2.35`)

где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора ` S. Из (2.35) легко получить уравнение прямой, проходящей через заданные точки М₁(х₁, у₁, z₁) и М₂(х₂, у₂, z₂) (она параллельна )

или (2.35``)

(Значения дробей в (2.35) равны для каждой точки прямой и могут быть обозначены через t, где t R. Это позволяет ввести параметрические уравнения прямой

Каждому значению параметра t соответствует набор координат х, у, z точки на прямой или (иначе) - значения неизвестных, удовлетворяющих уравнениям прямой).

Используя уже известные свойства векторов и операций над ними и канонические уравнения прямой легко получить следующие формулы:

Угол между прямыми: (2.36)

где ` S<sub>1</sub> и ` S₂ – направляющие векторы прямых.

Условие параллельности (2.37)

перпендикулярности l ₁ l ₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0 (2.38) прямых.

Угол между прямой и плоскостью (легко получить, найдя угол между прямой и нормалью к плоскости, составляющий в сумме с искомым p/2)

(2.39)

Из (2.37) получаем условие параллельности A l + Bm + Cn = 0 (2.40)

и перпендикулярности (2.41) прямой и плоскости. Необходимое и достаточное условие нахождения двух прямых в одной плоскости легко получить из условия компланарности (1.25).

(2.42)

контрольные вопросы.

1) Каковы способы задания прямой линии в пространстве?