Эллипс. Окружность.

Эллипсом называют множество (геометрическое место) точек, суммы расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта величина больше расстояния между фокусами (его обозначают через 2с).

Если фокусы эллипса размещаюся на оси Ох симметрично началу координат в точках F₁(c, 0) и F₂ (-c, 0) (рис.2.1), то уравнение эллипса примет простейшую (каноническую) форму: (2.13)

где а и b – большая и малая полуоси эллипса, причем а, b, с связаны соотношением а² = b² + с². Форма эллипса (мера сжатия) характеризуется эксцентриситетом (2.14).

Очевидно, что 0 £ е £ 1; е = 1 при b = 0 и эллипс вырождается в отрезок длиной 2а; е = 0 при b = a, когда эллипс вырождается в окружность радиуса а.

Расстояния произвольной точки М(х, у) эллипса от его фокусов называются фокальными радиусами – векторами этой точки, обозначаются r₁ и r₂ и могут быть вычислены по формулам r₁ = а – ех (2.15) (правый радиус – вектор) и r₁ = а + ех (2.15`) (левый радиус – вектор).

При е = 0 (а = b = r) уравнение примет вид х² + у² = r² (2.16)

Это уравнение окружности – геометрического места точек равноудаленных от данной точки, называемой центром (в ней «сошлись» фокусы эллипса), с центром в начале координат. Уравнение окружности с центром в заданной точке С(а, b) примет вид (х – а)² + (у – b)² = r² (2.16`)

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а),

причем эта величина меньше расстояния между фокусами (ее обозначают через 2с).

Если фокусы гиперболы расположены на оси Ох симметрично началу координат в точках F₁(с, 0) и F₂(–с, 0), уравнение гиперболы примет каноническую форму

(2.17), причем b² = c² – a² (2.18).

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки А₁(а, 0) и А₂(–а, 0) называются вершинами гиперболы (рис.2.2). Отрезки А₁А₂ = 2а и В₁В₂ = 2b называют действительной и мнимой осями гиперболы. Прямые (2.19) - наклонные асимптоты гиперболы.

(Прямая называется наклонной асимптотой кривой, если расстояние между этой прямой и точкой М(х, у) кривой стремится к нулю при стремлении х к ± ¥ (х ® ± ¥)).

Величину (2.20) называют эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, что 1 £ е < ¥; при b = 0 (е = 1) гипербола вырождается в две полупрямые, лежащие на оси Ох и разделенные промежутком (–а, а).

Фокальные радиусы – векторы определяются соотношениями:

При а = b (e = ) (такая гипербола называется равнобочной) асимптоты гиперболы – биссектрисы координатных углов.

Две гиперболы и , имеющие одни и те же оси и асимптоты (мнимая ось одной совпадает с действительной осью другой) называют сопряженными.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если фокус параболы в точке F(р/2, 0), а уравнение директрисы х = –р / 2, то уравнение параболы примет вид у² = 2рх (2.22).

Эта парабола симметрична относительно оси Ох и при р > 0 расположена как на рис. (2.3). х² = 2ру (2.22`) уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу. Фокальный радиус – вектор параболы (2.22) определяется соотношением:

r = x + (p / 2) (p > 0) (2.23).

Контрольные вопросы.

1) Что называется уравнением линии. Приведите примеры.

2) Как убедиться, что данная точка лежит на данной линии?

3) Как Найти точку пересечения двух линий, заданных своими уравнениями?

4) Что называется порядком алгебраической линии?

5) По какому признаку можно определить, является ли данное уравнение второго порядка уравнением окружности в декартовой системе координат? Как в этом случае можно найти её центр и радиус?

6) Сформулируйте определения эллипса, гиперболы и параболы. Каковы канонические уравнения этих линий и при каком расположении осей координат имеют место эти уравнения?

7) Что называется эксцентриситетом эллипса и гиперболы и какие значения он может иметь для каждой из этих линий?