Ранг матрицы.

Пусть дана прямоугольная матрица А, содержащая m строк и n столбцов. Выделим в этой матрице произвольным образом к строк и к столбцов (к £ m, к £ n). Определитель к – ого порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных столбцов и строк, называется минором к – ого порядка матрицы А. Очевидно, что можно составить миноры любого порядка, не превышающего m и n, причем (в общем случае) по крайней мере некоторые из них не будут равны нулю. Рангом матрицы А называют наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. (Если все элементы матрицы равны нулю, то и ранг ее принимают равным нулю). Отличные от нуля миноры, порядок которых равен рангу матрицы, называют базисными минорами. Ранг матрицы обозначают символом r(А). Если r(A) = r(B), то матрицы А и В называют эквивалентными ( Символическая запись: А ~ В). Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Это можно использовать при вычислении ранга матрицы. Под элементарными преобразованиями понимают:

1. Замену строк столбцами, а столбцов – соответствующими строками;

2. Перестановку строк;

3. Вычеркивание строк, все элементы которых равны нулю;

4. Умножение какой – либо строки на отличное от нуля число;

5. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.

Пример: Найти ранг матрицы

Сложим соответствующие

элементы 1 и 3 строк, а затем разделим на 4 элементы «обновленной» первой строки. Из элементов 1 строки вычтем соответствующие элементы 2 строки, после чего вычеркнем 1 строку.

Ранг последней матрицы равен 2 (действительно,

Следовательно и ранг исходной матрицы r(A) = 2.

Можно показать, что ранг матрицы равен числу не обнуляемых элементарными преобразованиями строк.

Примечание:

Элементарные преобразования матриц позволяют упростить вычисление обратной матрицы. Припишем к матрице А единичную матрицу Е той же размерности, отделённую вертикальной чертой. Умножив обе части сдвоенной матрицы А|E на А^-1 получим Таким образом, если элементарными преобразованиями сдвоенной матрицы левую часть её привести к виду Е, то в правой части окажется искомая обратная матрица А^-1.

Пример: А= ; Найти А^-1.

Составим сдвоенную матрицу и преобразуем её.

; Т.о. А^-1 = . В (1) преобразовании к 1 и 2 строкам прибавляем 3; во (2) прибавляем к 3 строке 1, а из 1 вычитаем 2, умноженную на 4; в (3) вычитаем из 3 строки 2, умноженную на 6; в (4) прибавляем к 2 строке 3, а 3 умножаем на -1.

Проверка показывает, что А^-1 найдена правильно.

Контрольные вопросы.

Что называется рангом матрицы?