Лекция №3. Падение плоских электромагнитных волн на границу раздела двух сред

Граничные условия – соотношения, показывающие связь между значениями векторов ЭМП в разных средах, у поверхности раздела называют граничными условиями.

Полная система граничных условий состоит из четырех формул:

; (3.1)

; (3.2)

; (3.3)

. (3.4)

Формула (3.1) показывает, что нормальная компонента вектора D претерпевает скачек на величину поверхностного заряда . На самом деле поверхностных зарядов не бывает, толщина слоя конечна и D меняется постепенно. Но математическая модель удобнее.

Если свободные заряды на границе раздела сред отсутствуют , то для вектора Е:

.

Нормальная компонента вектора Е претерпевает разрыв.

Формула (3.2) показывает, что тангенсальная составляющая вектора Е, непрерывна при переходе через границу раздела двух сред.

Для вектора B нормальные составляющие непрерывны (3.3), а тангенсальные составляющие вектора Н претерпевает скачек на величину плотность поверхностного тока (3.4), направленного ортогонально вектору (или его составляющей).

На поверхности раздела с идеальным проводником , внутри которого поле отсутствует, согласно уравнению Максвелла будут справедливы следующие граничные условия:

;

;

;

.

Рассмотрим падение плоских электромагнитных волн на границу раздела двух сред. Границу раздела будем полагать бесконечно протяженной. Плоскость, проходящая через нормаль к границе раздела параллельно направлению распространения, называют плоскостью падения.

Если вектор Е перпендикулярен этой плоскости, то волна – нормально поляризованная, если параллелен, волна – параллельно поляризованная.

Любую другую ориентацию вектора Е следует рассматривать как суперпозицию .

Падение волны с нормальной поляризацией на границу раздела двух сред изображено на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 – Падение волны с нормальной поляризацией на границу раздела двух сред

Амплитуды напряженностей электрического и магнитного поля падающей, отраженной и преломленной волны определяются выражениями:

;

;

;

;

;

.

Падающая волна под углом j частично (или полностью) отражается от границы раздела сред под углом j” и частично (или полностью) проходит во вторую среду под углом θ. Амплитуды напряженности электрического поля отраженной и преломленной волны обозначены в этих выражениях как некоторые величины А и В соответственно. Можно считать, что ориентация векторов относительно направления распространения не меняется.

Волновое сопротивление первой среды:

.

Волновое сопротивление второй среды:

.

Из граничных условий следует равенство тангенсальных составляющих: . Граничные условия должны выполняться при любых z. Это возможно только, если зависимость от z для всех трех векторов напряженности электрического поля одинаковы. Отсюда вытекают два закона:

– угол падения равен углу отражения

;

– и закон Снелля

,

где n - показатель преломления среды

.

Из закона сохранения энергии определим постоянные А и В на границе раздела (А и В амплитуды отражённой и преломлённой волн соответственно):

А = RЕ°;

В = ТЕ°,

где R - коэффициент отражения, T - коэффициент преломления (коэффициенты Френеля).

В случае нормальной поляризации:

1+R_^=T_^;

1-R_^= Т_^.

Модуль R характеризует соотношение между амплитудами падающей и отражённой волны, а аргумент - сдвиг фаз между этими полями:

R_^ = ;

T_^ = .

Вывод при параллельной поляризации аналогичен, получаем:

R_{| |}= ;

T_|| = .

При нормальном падении ЭМВ, когда j = 0, плоскость падения становится неопределённой и различие поляризаций пропадает:

R_^= - R_||= ;

T_^= T_|| = .

Знак ’’минус’’ за счёт того, чтоR_^ и T_^ коэффициенты по электрическому полю, R_{ê ê} и T_{ê ê} – по магнитному.

Для обычных диэлектриков существует угол падения, при котором падающая волна целиком проходит во вторую среду называемый – Угол Брюстера. Это возможно в следующих случаях:

– необходимо, чтобы R_^ и R_{ê ê} равнялись 0 для любого угла падения j, что для реального диэлектрика означает , т.е. электромагнитные свойства вещества неотличимы от свойств вакуума, если он – первая среда, или (m/e = 1): Z_С2 = Z_С1;

– для параллельной поляризации, когда :

;

– для нормальной поляризации, когда :

.

От границы раздела обычных диэлектриков волна с нормальной поляризацией отражается всегда.

Волна с эллиптической поляризацией отражается от границы всегда.

Отметим условия, при которых вещество полностью отражает падающие на него электромагнитные волны:

– если при конечном значении m, то коэффициенты отражения стремятся к предельным значениям: R_{ê ê} = - 1; R_^ = 1. К этому предельному случаю очень близко подходят металлы, у них e имеет большую мнимую часть. Металлы – почти идеальные зеркала для электромагнитных волн.

– вещества, у которых при конечной значение e, величина магнитной проницаемости m была бы весьма велика, то для них: R_{ê ê} =1; R_^= -1. Например, ÷ Rç стремится к 1 для критической плазмы (e £ 0);

– в случае, когда волна распространяется из оптически плотной среды в менее плотную оптическую среду (n₂< n₁):

.

Коэффициент отражения от системы из n слоёв описывается следующим выражением:

где

.

- входной импеданс системы, причём, если угол падения не равен нулю, то следует использовать:

ç ;

ç .

при перпендикулярной и параллельной поляризациях соответственно. Углы j рассчитывают исходя из законов Снелля.

Частные случаи:

– Полуволновой слой, когда

Входной импеданс: .

Коэффициент отражения:

,

то есть полуволновой слой не оказывает никакого действия на падающую волну. В частности, если Z₁ = Z₃, то отражение отсутствует (можно использовать как фильтр частот и направлений).

– Четвертьволновой просветляющий слой, когда

Коэффициент отражения будет равен нулю, если сопротивление: , среднегеометрическое. Используют при согласовании.

С учётом всего вышесказанного изобразим зависимость R и T от j на границе раздела (качественно) (см. рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Зависимости коэффициента отражения и коэффициента преломления от угла падения: а) для параллельной поляризации;

б) для нормальной поляризации

Зависимость от толщины слоя носит осциллирующий характер, причём если в слое есть потери, то амплитуда осцилляций стремится к постоянной величине – дальняя граница перестаёт оказывать влияние (волны затухают, не доходя до неё).