Лекция №7. Круглый металлический волновод

Круглый металлический волновод – это труба круглого сечения радиусом r=a из идеально проводящего металла бесконечно протяженная вдоль оси z (см. рисунок 7.1). Среда внутри – вакуум.

Рисунок 7.1 – Круглый металлический волновод

Для получения математического решения используем цилиндрическую систему координат (в дальнейшем ЦСК). При исследовании волн Н-типа следует исходить из уравнений Гельмгольца:

.

Воспользуемся выражением оператора Лапласа в ЦСК, получаем:

. (7.1)

Электрический вектор имеет касательную составляющую, которая должна обращаться в ноль на металле (составляющая отлична от нуля). Тогда граничное условие принимает вид:

при r = a.

Используя метод разделения переменных, преобразуем выражения (7.1) к виду:

. (7.2)

В математике уравнение (7.2) хорошо изучено – Уравнение Бесселя. В этом уравнение m=0, 1, 2, … – целые числа, являющиеся одним из индексов волны Н – типа.

При решении уравнения (7.2) необходимо учесть, что поле принимает конечное значение в любой точке поперечного сечения волновода, получаем:

, (7.3)

где - функция Бесселя (см. рисунок 7.2) или цилиндрическая функция первого рода порядка m. Роль функций Бесселя такая же, как sin и cos в декартовой системе координат, но вид значительно отличается от вида sin и cos. Функция Бесселя непериодическая, и её амплитуда уменьшается с ростом аргумента.

Рисунок 7.2 – Графики функции Бесселя

Найдем из граничных условий поперечное волновое число g:

будет равно 0 при r = a, если при r = a.

Количество корней этого уравнения неограниченно, корни обозначают , тогда:

,

и выражение (7.3) приобретает вид

.

Номер корня n – второй индекс волны.

Физический смысл индексов:

m – число вариаций поля по угловой координате φ,

n – характеризует изменение поля по координате r.

Каждой паре m и n соответствует оригинальная картина поля в волноводе причем (иначе или ). Критическая длина:

.

Наименьшему корню производной функции Бесселя соответствует низший тип волны , тогда . Структура поля получается путем деформации основной волны прямоугольного волновода (см. рисунок 7.3).

Правила, которые мы использовали при построении картин поля высших типов волн в прямоугольном волноводе, для круглого волновода не применимы.

определяются выражениями (5.3), (5.4), (5.5), (6.1), (6.2).

Рисунок 7.3 – Структура поля волны Н₁₁ в круглом волноводе

Вывод выражений для волн Е типа аналогичен, но т.к. граничные условия для них при r = a, то

,

где корень уравнения .

Низшей среди волн Е типа будет волна для нее , . Таблицы для и приведены в справочниках.

Выражение для продольной составляющей поля волн Е типа:

.

Индекс m = 0 означает, что картина по - симметрична, например, волна (см. рисунок 7.4).

Рисунок 7.4 – Структура поля волны в круглом волноводе

определяется по (6.2).

Диаграмма типов волн в круглом волноводе изображена на рисунке 7.5.

Волновод работает в одномодовом режиме (волна типа ) при , т.е. коэффициент перекрытия - 1, 3, а реально еще меньше.

Рисунок 7.5 – Диаграмма типов волн в круглом волноводе

Из-за явления поляризационной неустойчивости волны типа он в основном используется в виде коротких отрезков. Зато наличие симметричных типов (m=0) практически весьма ценно для создания вращающихся сочленений. Для этой цели обычно используют волны типов (см. рисунки 7.4 и 7.6).

Рисунок 7.6 Структура поля волны в круглом волноводе

Для волны величина предельно допустимой мощности не намного превосходит допустимую мощность для прямоугольного волновода (отсутствие граней), а поляризация – линейная:

. (7.4)

Выражение (7.4) справедливо для любой волны Н типа, когда m 1.

Если возбудить две волны , ортогональные друг другу и сдвинутые по фазе на 90 градусов, то получим волну с круговой поляризацией с допустимой напряженностью поля в каждой точке, но с удвоенной мощностью.

У волны Н_0n типа в круглом волноводе поверхностный ток имеет только азимутальную составляющую, и с ростом частоты потери стремятся к нулю.

Условное графическое обозначение круглого волновода на схемах представлено на рисунке 7.7.

Рисунок 7.7 – Условное графическое обозначение круглого волновода

Напоследок мы отметим, что в результате дисперсии будет наблюдаться расплывание импульса из-за разницы в групповых скоростях (V_гр) для различных составляющих спектра, как в круглом волноводе, так и в прямоугольном.

Чем уже полоса сигнала, чем меньше расстояние и чем слабее зависимость затухания от частоты, тем меньше искажается комплексная огибающая. Затухание наряду с ослаблением приводит к изменению формы спектра, в частности смещение эффективной несущей в сторону тех частот, где затухание меньше. Сигнал, который при этом воспринимается, обусловлен частью спектра вблизи эффективной несущей.