Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Теорема о разложении вектора по базису
|
|
Всякий элемент n-мерного линейного пространства можно представить, притом единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса.
Доказательство. Пусть ē 1, ē 2, …, ē n - базис линейного пространства L. Рассмотрим любой вектор ā 
L. Тогда система векторов ē 1, …, ē n, ā - линейно зависимая, то есть λ 1ē 1+…+ λ nē n+ λ n+1 ā =0, причем λ n+1≠ 0.
Если λ n+1 =0, тогда 
и какое-то из λ i≠ 0 
Это означает: ē 1, ē 2, …, ē n - линейно зависимы, что противоречит условию: ē 1, ē 2, …, ē n - базис, то есть линейно независимая система векторов.
Итак, λ n+1≠ 0, тогда 
, то есть
, где 
.
Таким образом, показали, что любой вектор можно представить как линейную комбинацию векторов базиса.
Покажем, что такое разложение единственно. Предположим, что наряду с полученным разложением ā по базису , существует другое 
.
Вычитая, находим 
.
Так как векторы ē 1, ē 2, …, ē n - линейно независимы, то последнее равенство имеет место только тогда, когда 
.
Таким образом, μ i=γ i для 
, а следовательно, разложение вектора по базису единственно.
Всякий базис линейного пространства, векторы которого берутся в определенной последовательности, называют системой координат, а числа - коэффициенты в разложении любого вектора ā по базису - называют координатами вектора ā.
ā =x1 ē 1+…+xnē n,
где х1, …., хn - координаты вектора ā.
Последнее выражение называют формулой разложения вектора по базису.
В общем случае при изменении базиса, координаты вектора изменяются.
Вектор можно задавать с помощью координат ā =(x1, x2, …, xn).
Рассмотрим два вектора:
ā =(x1, x2, …, xn) и 
=(γ 1, γ 2, …, γ n).
Используя определение линейного пространства, покажите что:
1) при сложении векторов их соответствующие координаты складываются:
ā + = (x1+γ 1, x2+γ 2, …, xn+γ n);
2) при умножении вектора на скаляр λ, каждая координата умножается на это число: λ ā =(λ x1, λ x2, …, λ xn).