Евклидово пространство

Для n-мерного линейного пространства введем понятие длины вектора и угла между векторами. Это можно сделать, если определить операцию произведения над векторами.

В линейном пространстве L задано скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие число такое, что:

1^о.

2^о. λ - скаляр;

3^о.

Линейное пространство L называется евклидовым пространствам, если в нем определено скалярное произведение и для любого вектора , его скалярный квадрат будет положительным.

4°. при то ā =0

Обозначают n-мерное евклидово пространство Еⁿ.

Таким образом, линейное пространство будет евклидовым, если введенное там (как угодно) скалярное произведение векторов будет удовлетворять четырем аксиомам 1°, 2°, 3°, 4°.

Пусть векторы заданы своими координатами

ā =(x₁, x₂, …, x_n) и =(γ ₁, γ ₂, …, γ _n).

Легко проверить (проверьте!), что всем аксиомам будет удовлетворить скалярное произведение, определенное как сумма произведений соответствующих координат перемножаемых векторов

или .

Нормой (длиной) вектора ' называется число, равное

или

в координатной форме

Угол между векторами определяется по формуле

Покажем, что это определение корректно, то есть выполняется условие

Пусть λ - любое действительное число, .

Согласно аксиоме 4°, имеем используя аксиомы 1°-3°, последнее неравенство можно записать в виде

Это квадратное неравенство относительно λ справедливо, если его дискриминант неположительный, то есть,

или

Итак, доказали, что для любых справедливо неравенство -оно называется неравенством Коши-Буняковского. Из неравенства Коши-Буняковского следует: или

итак, действительно

Как уже отмечалось, в n-мерном линейном пространстве базисом является любая система из n линейно независимых векторов. Часто выбирают базис из взаимно перпендикулярных (ортогональных) единичных векторов.

Базис ē ₁, ē ₂, …, ē _n в пространстве Еⁿ называется ортонормированным, если имеет место:

В частности, в пространстве Е² ортонормированным базисом является система двух векторов, их обозначают i, j: