Решение. а) Любые два вектора, лежащие на прямой будут линейно-зависимыми, так как вектора коллинеарные , то

а) Любые два вектора, лежащие на прямой будут линейно-зависимыми, так как вектора коллинеарные , то , λ - скаляр. Следовательно, базисом данного пространства является только один (любой) вектор, отличный от нулевого.

Обычно это пространство обозначают R, размерность его равна 1.

б) любые два неколлинеарные векторы будут линейно-независимы, а любые три вектора на плоскости - линейно-зависимы. Для любого вектора , существуют числа l и m такие, что . Пространство называют двумерным, обозначают R ².

Базис двумерного пространства образуют любые два неколлинеарных вектора.

в) Любые три некомпланарные векторы будут линейно независимые, они образуют базис трехмерного пространства R ³.

г) В качестве базиса пространства многочленов степени не выше второй можно выбрать такие три вектора: ē ₁=x²; ē ₂=x; ē ₃=1.

(1 - это многочлен, тождественно равный единице). Данное пространство будет трехмерным.