Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных

Рассмотрим неоднородную систему т уравнений с n неизвестными

АХ=В, где

Выпишем расширенную матрицу системы:

,

с помощью эквивалентных преобразований над строками приведем эту матрицу к треугольному или трапециидальному виду. Решая систему уравнений, соответствующую полученной после преобразований матрице, находим единственное (пример 15) или общее (пример 16) решение данной системы.

Пример 15. Исследовать на совместность и решить систему методом Гаусса:

.

Решение. Найдем ранг расширенной матрицы системы, выполнив эквивалентные преобразования:

~ ~

~ ~

~ .

Очевидно, что r(А) = r( )=4, следовательно, система совместна

Очевидно, что r(А) = r( )=4, следовательно, система совместна, причем имеет единственное решение. Запишем систему, соответствующую последней матрице:

Находим значения неизвестных:

Итак, решение системы:

Пример 16. Исследовать на совместность и найти общее решение системы

.

Решение.

Найдем ранг расширенной матрицы системы:

для этого из первой строки вычтем третью,

получим:

~

Очевидно, что r(А) = r( ) =2

Следовательно, система совместна. Здесь r=2, n=3, так как r< n, то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем общее решение системы. Запишем систему, полученную после выполнения эквивалентных преобразований над расширенной матрицей системы:

или ,

где x₁, x₂ - базисные переменные,

x₃ - свободная переменная.

Из первого уравнения найдем:

.

Итак, общее решение имеет вид: