Решение. Это будут следующие миноры второго порядка:

Это будут следующие миноры второго порядка:

Рангом матрицы А называют число, равное наивысшему порядку ее минора, не равного нулю

Обозначают ранг матрицы: rang А; r(А); r.

Для квадратной матрицы разность между ее порядком и рангом называют дефектом матрицы.

Минор порядка r (r = rang А) называется базисным минором.

Справедливы следующие утверждения (доказать самостоятельно):

1.

2. r=0, тогда и только тогда, когда все а_ij = 0

3. r=п для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

4. r < п для квадратной матрицы А, если ее определитель Δ = О

Теорема о базисном миноре:

Если ранг матрицы равен r, то любая строка матрицы есть линейная комбинация строк, в которых расположен базисный минор.

Ранг матрицы удобнее всего определять при помощи элементарных преобразований над ее строками и столбцами.

Элементарными преобразованиями называют:

- перестановку между собой строк;

- умножение всех элементов любой строки на число, отличное от нуля;

- прибавление к элементам любой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число.

Матрицы, полученные одна из другой при помощи элементарных преобразований (как над строками, так и над столбцами), называются эквивалентными. Эти матрицы имеют одинаковый ранг и порядок.

Если матрицы А и В эквивалентны, то записывают это так:

А~В

Для вычисления ранга матрицы можно пользоваться следующей теоремой:

если определитель порядка r матрицы А не равен нулю, а все определители порядка (r+1), включающие его в качестве минора, равны нулю, то ранг матрицы А равен r.

Пример 12. Найти ранг матриц:

a) ; б) .