Точечные оценки параметров

Пусть перед нами стоит задача изучения некоторого количест­вен­ного признака Х в генеральной совокупности. Допустим, что каким-то образом нам удалось установить, какое именно распределение имеет изучаемый признак в генеральной совокупности. Возникает задача оценки (нахождения некоторых приближенных значений) неизвестных параметров этого распределения. Этими параметрами могут быть, например, и нормального распределения, или параметр распределения Пуассона. На практике о величине неизвестного параметра можно судить по выборке объема n, извлеченной из генеральной совокупности, т.е. .

Оценкой параметра называется любая функция от значе­ний выборки , т.е. статистика.

Заметим, что под самим параметром понимается его истинное значение в генеральной совокупности, являющееся постоянным (неслучайным) числом. Статистику можно рассматривать как функцию от случайных величин таких, что значение есть реализация случайной величины :

Очевидно, что статистику следует выбирать таким образом, чтобы ее значения как можно точнее оценивали значение неизвестного параметра .

Несмещенной называется оценка параметра , если ее математическое ожидание равно значению этого параметра, т.е.:

Если это требование не выполняется, то оценка будет давать значение параметра с некоторым отклонением в ту или другую сторону. Для несмещенных оценок устраняется возможность появления систематических ошибок при оценке параметра .

Эффективной называется оценка , которая при заданном объеме выборки имеет наименьшую возможную дисперсию:

Состоятельной называется оценка , которая при неограни­чен­ном увеличении объема выборки стремится по вероятности к оцениваемому параметру , т.е. для любого выполняется:

Оценки называются точечными, т.к. они дают одно число­вое значение параметра (точку).

Пусть из генеральной совокупности Х извлечена повторная выборка со значениями признака . В качестве оценок для генеральной средней и генеральной дисперсии рассмотрим выборочную среднюю и выборочную дисперсию .

Можно показать, что оценка для генеральной средней является несмещенной, эффективной и состоятельной, а ее дисперсия равна:

В то же время, оценка для генеральной дисперсии является состоятельной, но смещенной. Поэтому на практике часто пользуются исправленной выборочной дисперсией , которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии и вычисляется по формуле:

Для бесповторной выборки оценки и также являются несмещенными и состоятельными, а дисперсия равна:

,

где объем генеральной совокупности. При неограниченном увеличении объема генеральной совокупности бесповторная выборка неотличима от повторной выборки.

Пусть генеральная совокупность содержит М элементов, обладающих некоторым признаком А.

Генеральной долей признака А называется величина , где объем генеральной совокупности.

Для генеральной доли р несмещенной и состоятельной оценкой будет являться выборочная доля , где число элементов выборки, обладающих признаком А.

Дисперсия выборочной доли в случае повторной выборки определяется по формуле:

,

а в случае бесповторной выборки – по формуле:

,

где: . Если , то повторная выборка практически не отличается от бесповторной, и приведенные формулы для дисперсии выборочной доли дают одинаковый результат.

В случае, когда р неизвестно, его заменяют выборочным значением .

ПРИМЕРЫ:

1. Из 1500 деталей отобрано 250, распределение которых по размеру задано таблицей:

Найти оценки и для среднего и дисперсии, а также дисперсию оценки для повторного и бесповторного отбора.

Используя соответствующие формулы, последовательно найдем:

Далее, для повторной выборки найдем:

а для бесповторной:

2. Выборочно обследовали партию кирпича, поступившего на стройку. Из 100 проб в 12 случаях кирпич оказался бракованным. Найти оценку доли бракованного кирпича и ее дисперсию.

По данным задачи имеем: . Далее найдем: