Интервальные оценки параметров

Точечная оценка параметра дает лишь некоторое приближенное значение его. Чтобы получить представление о точности и надежности оценки, используют интервальную оценку параметра.

Интервальной оценкой параметра называется интервал , который с заданной вероятностью накрывает неизвестное значение параметра . При этом интервал называется дове­ри­тельным интервалом, а вероятность называется довери­тель­ной вероятностью или уровнем надежности. Доверительная вероятность обычно задается числом, близким к единице: 0, 95; 0, 99 или 0, 999.

Обычно доверительный интервал имеет вид и определяется формулой:

,

где отклонение выборочного значения параметра от его истинного значения называется предельной ошибкой выборки.

Пусть выборка из генеральной совокупности объема , выборочная средняя, исправленная выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклоне­ние и выборочная доля признака.

Доверительный интервал уровня надежности для генеральной средней имеет вид: , где Δ – пре­дельная ошибка выборки, зависящая от .

При n > 30 для повторной выборки:

,

а для беспов­тор­ной выборки:

.

Причем определяется из условия: , где интегральная функция Лапласа.

Если (выборка малого объема), то доверительный интервал для генеральной средней строится только для нормальной генеральной совокупности. При этом для повторной выборки:

,

а для бесповторной выборки:

,

где значение находится по таблицам распределения Стьюдента по заданным значениям и .

Доверительный интервал для генеральной доли р имеет вид: , где при для повторной выборки:

,

а для бесповторной выборки:

,

где определяется условием .

При рассматриваются только выборки из нормальной генеральной совокупности, а предельные ошибки выборки определяются по тем же формулам.

ПРИМЕРЫ:

1. Из партии в 5000 электрических ламп отобрано 300 по схеме бесповторной выборки. Средняя продолжительность горения ламп в выборке оказалась равной 1450 часам, а дисперсия – 4000. Найти доверительный интервал для среднего срока горения лампы с надежностью 0, 9996.

Для по таблицам находим . При для бесповторной выборки найдем:

Следовательно, искомый доверительный интервал: .

2. В партии, содержащей 5000 изделий, проверено 400. Среди них оказалось 300 изделий высшего сорта. Найти с надежностью 0, 95 доверительный интервал для доли изделий высшего сорта в случаях повторной и бесповторной выборок.

Для по таблицам находим . При , найдем выборочную долю . Для случая повторной выборки предельная ошибка будет равна:

,

а доверительный интервал будет иметь вид: .

Для бесповторной выборки:

,

а доверительный интервал: .

Рекомендуемая литература по теме 2.2: [1 ÷ 4].

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 2.2:

1. Будет ли выборочная средняя несмещенной и состоятельной оценкой для математического ожидания?

____________________________________________________________

2. Какая из оценок дисперсии: выборочная или исправленная выборочная является несмещенной для генеральной дисперсии?

3. Какими свойствами обладает выборочная доля в качестве оценки генеральной доли?

4. Какая связь между доверительным интервалом и истинным значением оцениваемого параметра?

5. Как предельная ошибка выборки связана с доверительным интервалом?

6. Как отличаются предельные ошибки для повторной и бесповторной выборок при интервальной оценке генеральной средней?