Проверка гипотезы о равенстве средних значений

На практике часто встречаются ситуации, когда среднее значение данных одного эксперимента отличается от среднего значения данных другого, хотя условия эксперимента являются схожими. Тогда возникает вопрос, можно ли считать это расхождение незначимым, т.е. чисто случайным, или оно вызвано существенным различием двух генеральных совокупностей.

Пусть генеральные совокупности Х и Y распределены нормаль­но, причем дисперсии их неизвестны, но есть веские основания полагать, что они равны, и требуется проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе , по данным малых независимых выборок и , извлеченных из этих сово­куп­ностей.

В рассматриваемом случае в качестве критерия принимается случайную величину:

,

где и - выборочные средние, а и - исправленные выбо­рочные дисперсии. Доказано, что эта случайная величина при спра­вед­ливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Исходя из вида конкурирующей гипотезы, будем строить двустороннюю критическую область. Поскольку распределение Стьюдента симметрично относительно нуля, нам достаточно найти правую критическую точку исходя из условия . Для ее отыскания пользуются таблицами критических точек распределе­ния Стьюдента и данными по уровню значимости и числу степеней свободы .

По приведенной выше формуле рассчитывают наблюдаемое значение критерия и сравнивают его с найденной критической точкой. Если , то опытные данные не дают оснований отвергнуть нулевую гипотезу, если же , то нулевую гипотезу отвергают.

ПРИМЕР: По двум независимым малым выборкам с объемами и , соответственно, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Х и Y, найдены выборочные средние и исправленные выборочные дисперсии . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе , если известно, что генеральные дисперсии в обеих совокупностях одинаковы.

Вычислим наблюдаемое значение критерия, подставив в формулу для него исходные данные задачи:

.

Исходя из вида конкурирующей гипотезы, выбираем двустороннюю критическую область и по таблицам критических точек распределения Стьюдента для уровня значимости 0, 05 и числу степеней свободы 9 находим правую критическую точку: . Поскольку , нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних отвергаем. Другими словами, выборочные средние различа­ются значимо.