Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий

На практике задача сравнения дисперсий возникает, когда требуется сравнить между собой точности приборов, инструментов, самих методов измерений и т.д. Очевидно, что предпочтительнее тот прибор, инструмент или метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.

Пусть генеральные совокупности Х и Y распределены нормаль­но. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными и , извлеченными из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы обычно выбирается случайная величина, равная отношению большей дисперсии к меньшей, т.е.:

,

которая при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы и , где объем выборки, по которой найдена большая дисперсия, а объем выборки, по которой найдена меньшая дисперсия.

Исходя из вида конкурирующей гипотезы, строят правосторон­нюю критическую область. Критическую точку находят по таблицам критических точек распределения Фишера-Снедекора по данным , т.е. . Находят наблюдаемое значение критерия и сравнивают его с критическим значением. Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, если же , то нулевую гипотезу отвергают.

ПРИМЕР: По двум независимым выборкам объемом и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Х и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии и . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу , если конкурирующая гипотеза имеет вид: .

Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, что и будет являться наблюдаемым значением критерия:

.

По таблицам критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости и числам степеней свободы и найдем критическую точку для правосторонней критической области: . Поскольку , у нас нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.