Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа

Вернемся теперь к сформулированной в подразделе 2.4.1 задаче: при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нескольких средних (назовем их групповыми средними) нормальных генеральных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми, дисперсиями.

Пусть нулевая гипотеза о равенстве групповых средних верна. Тогда исправленные факторная и остаточная дисперсии, являющиеся несмещенными оценками одной и той же неизвестной генеральной дисперсии (одинаковой для всех групп), будут различаться незначимо. Если сравнить эти оценки с помощью критерия Фишера-Снедекора (см. подраздел 2.3.3), то критерий укажет, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий следует принять. Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых средних верна, то верна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Пусть нулевая гипотеза о равенстве групповых средних не верна. Тогда по мере возрастания расхождений между групповыми средними будет возрастать и факторная дисперсия, а вместе с ней будет возрастать и ее отношение к остаточной дисперсии, т.е. величина: . В итоге окажется, что и, следовательно, гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсии будет отвергнута.

Таким образом, чтобы проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних нескольких нормальных генеральных совокуп­ностей с неизвестными, но одинаковыми, дисперсиями, достаточно проверить с помощью критерия Фишера-Снедекора нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

При этом, если нулевая гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсии верна, то случайная величина , называемая дисперсионным отношением и определяемая формулой:

,

имеет распределение Фишера-Снедекора с и степенями свободы. Проверка этой гипотезы осуществляется по методике подраздела 2.3.3.

Пусть известно, что фактор оказывает влияние на резуль­та­тивный признак . Для измерения степени этого влияния используют выборочный коэффициент детерминации, равный:

.

Он показывает, какая доля общей дисперсии объясняется зависимостью результативного признака от фактора .

ПРИМЕР: В таблице приведены данные по объемам работ, выполненных за смену для четырех бригад. Для приведенных данных для уровня значимости 0, 05 проверьте нулевую гипотезу о равенстве групповых средних: .

Номер бригады	Объем выполненной работы
	140 144 142 145	142, 75	3, 69
	150 149 152 152	150, 25	1, 19
	148 149 146 147	147, 50	1, 25
	150 155 154 152	152, 75	3, 69

Для проверки нулевой гипотезы вычислим суммы и , для чего вначале вычислим общую выборочную среднюю:

.

Затем:

Теперь найдем соответствующие исправленные дисперсии:

и наблюдаемое значение критерия Фишера-Снедекора:

.

По таблицам критических точек распределения Фишера-Снедекора для и степеней свободы найдем . Поскольку , нулевую гипотезу отвергаем, т.е. объем ежедневной сменной выработки зависит от работающей бригады. Оценим степень этой зависимости с помощью коэффициента детерминации. Для этого найдем: и вычислим:

.

Полученный результат означает, что 84, 9% общей вариации ежедневного объема выработки связано с работающей бригадой.

Рекомендуемая литература по теме 2.4: [1 ÷ 4].

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 2.4:

1. На какие слагаемые разбивается общая сумма квадратов отклонений в модели дисперсионного анализа?

2. Какой критерий используется для проверки гипотезы о равенстве групповых средних в дисперсионном анализе?

____________________________________________________________

3. Какой величиной измеряется степень влияния фактора на результативный признак?

____________________________________________________________