Выборочное корреляционное отношение

Рассмотренный ранее выборочный коэффициент корреляции является показателем тесноты корреляционной связи только в том случае, когда эта связь носит линейный характер. Однако существует показатель тесноты корреляционной связи любого характера, в том числе и линейного.

Выборочным корреляционным отношением Y к Х называет­ся отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению величины Y, т.е.:

,

где межгрупповое среднее квадратическое отклонение определяется формулой:

,

а общее среднее квадратическое отклонение – формулой:

,

где, в свою очередь, групповые средние определяются по формуле:

.

Межгрупповая дисперсия определяет ту часть общей дисперсии величины Y, которая обусловлена изменчивостью величины Х. Поэтому, чем теснее связь, тем большее влияние на вариацию Y оказывает изменчивость Х и, следовательно, тем большие значения принимает выборочное корреляционное отношение.

Перечислим основные свойства выборочного корреляционного отношения:

1. Выборочное корреляционное отношение удовлетворяет двойному неравенству .

2. Если , то корреляционная связь между Y и Х отсутствует.

3. Если , то между Y и Х существует функциональная зависимость.

4. Выборочное корреляционное отношение не меньше модуля выборочного коэффициента корреляции, т.е. .

5. Если выборочное корреляционное отношение равно абсолютной величине выборочного коэффициента корреляции, то имеет место линейная корреляционная связь между Y и Х.

ПРИМЕР: По данным таблицы 2.1 подраздела 2.5.1 найти выборочное корреляционное отношение.

Вначале по соответствующим формулам найдем групповые средние и общую среднюю:

Затем найдем межгрупповую и общую дисперсии:

Наконец, найдем выборочное корреляционное отношение:

.

Поскольку найденное выборочное корреляционное отношение практически равно значению выборочного коэффициента корреляции, найденному в примере предыдущего подраздела , корреляционную связь следует считать линейной.