Свойства выборочного коэффициента корреляции

1. Выборочный коэффициент корреляции может принимать значения на отрезке , т.е. . При этом в зависимости от значений различают слабую, умеренную и сильную связь, т.е. чем ближе к единице, тем теснее связь.

2. Если , то корреляционная связь между Х и Y представляет собой функциональную линейную зависимость.

Запишем более подробные формулы для вычисления коэф­фи­циента корреляции для случая сгруппированных (представленных в виде корреляционной таблицы) данных.

,

Если данные не сгруппированы, то приведенные формулы значительно упрощаются:

,

Поскольку значение вычисляется по данным выборки, то, в отличие от генерального коэффициента корреляции ρ, является величиной случайной. Если получено , то возникает вопрос, объясняется ли это действительно существующей корреляционной связью между Х и Y или вызвано случайными факторами. Для выяснения значимости коэффициента корреляции проверяется нулевая гипотеза об отсутствии корреляционной связи между изучаемыми признаками, т.е. . При справедливости этой гипотезы статистика:

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Поэтому нулевая гипотеза отвергается, если , где значение находится по таблицам критических точек распределения Стьюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы .

ПРИМЕР: По данным таблицы 2.1 предыдущего подраздела найти выборочный коэффициент корреляции и проверить его значимость на уровне .

Для вычисления всех сумм, входящих в формулу выборочного коэффициента корреляции в случае сгруппированных данных, составим и заполним вспомогательную вычислительную таблицу.

	12, 5		20, 5		12, 5	20, 5	156, 25	420, 25
	17, 5		21, 5		52, 5	43, 0	918, 75	924, 5
	22, 5		22, 5		112, 5	67, 5	2531, 25	1518, 75
	27, 5		23, 5		302, 5	141, 0	8318, 75	3313, 5
	-	-	24, 5		-	196, 0	-	4802, 0
	-	-	-	-	480, 0	468, 0	11925, 0	10979, 0

Таким образом, найдены следующие суммы:

.

Найдем еще одну сумму:

Подставляя полученные значения сумм в соответствующую формулу, найдем значение выборочного коэффициента корреляции:

Проверим значимость на уровне , для чего вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

,

а по таблицам критических точек распределения Стьюдента при и найдем . Поскольку , считаем полученное значение коэффициента корреляции значимым.