Статистический анализ уравнения регрессии

Для того чтобы установить, соответствует ли выбранная регрессионная модель экспериментальным данным, используют основное уравнение дисперсионного анализа, записанное в виде:

,

где: общая сумма квадратов отклонений значений Y от общей средней, определяемая формулой:

,

сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, опре­де­ляе­мая формулой:

,

остаточная сумма квадратов, определяемая формулой:

.

В случае не сгруппированной выборки приведенные формулы для сумм несколько упрощаются и принимают вид:

Приведенные формулы позволяют найти соответствующие исправленные дисперсии:

,

где: число групп в корреляционной таблице или число оценивае­мых параметров в не сгруппированной выборке, а n – число наблю­дений.

Для заданного уровня значимости α и количеств степеней свободы по таблицам находим критическое значение критерия Фишера-Снедекора. Если для наблюдаемого значе­ния критерия выполняется неравенство:

,

то уравнение регрессии считается значимым или соответствующим экспериментальным данным на уровне значимости α.

Воздействие неучтенных случайных факторов в линейной модели регрессии определяется остаточной дисперсией, оценкой которой является выборочная остаточная дисперсия .

ПРИМЕР: Для зависимости Y от Х, заданной корреляционной таблицей 2.1 подраздела 2.5.1, найти оценки параметров уравнения линейной регрессии, остаточную дисперсию, а также оценить значимость найденного уравнения регрессии при .

Воспользуемся результатами, полученными в примерах подраз­делов 2.5.1 ÷ 2.5.4:

С учетом формулы искомое уравнение регрессии можно записать в виде:

или: ,

но тогда: и .

Для выяснения значимости найденного уравнения регрессии вычислим суммы и , для чего составим и заполним расчетную таблицу:

12, 5	20, 62		7, 73	0, 0144
17, 5	21, 82		7, 49	0, 6672
22, 5	23, 04		0, 65	1, 2180
27, 5	24, 24		7, 76	2, 1836
	-		23, 63	4, 0832

Таким образом, получены значения: и . В рассматриваемом случае и , поэтому найдем соответ­ствующие исправленные дисперсии:

,

а также наблюдаемое значение критерия Фишера-Снедекора:

.

По таблицам критических точек распределения Фишера-Снедекора для уровня значимости и чисел степеней свободы: найдем критичес­кую точку . Поскольку , полученное уравнение регрессии значимо, а остаточная (необъясненная) дисперсия равна: .

Рекомендуемая литература по теме 2.5: [1 ÷ 4, 6].

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 2.5:

1. Какое различие между функциональной, стохастической и корреляционной зависимостями?

2. Что записывается в последних строке и столбце корреляционной таблицы?

3. Какой величиной характеризуется степень линейной зависимо­сти между случайными величинами?

____________________________________________________________

4. Какой величиной характеризуется степень любой зависимости между случайными величинами?

____________________________________________________________

5. Какой коэффициент стоит при независимой переменной в уравнении линейной регрессии?

6. С помощью какого критерия проверяется значимость линейного уравнения регрессии?

ЛИТЕРАТУРА

1. Налимов В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов: Учебное пособие – М.: «Весть», 2007.

2. Болдин К.В. и др. Основы теории вероятностей и математической статистики: Учебник. – М.: Флинта, 2010.

3. Попов А.М., Сотников В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: Юрайт, 2011.

4. Геворкян П.С. и др. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: Экономика, 2012.

5. Налимов В.Н. Основы теории и методы решения дифференци­аль­ных и разностных уравнений для экономистов: Учебное пособие. – М.: Издание ИМЭС, 2013.

6. Налимов В.Н. Основы математического анализа для экономистов: Учебное пособие. – М.: Издание ИМЭС, 2013.