![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Класичний метод аналізу перехідних процесів
Цей метод полягає в тому, що для будь-якого лінійного скомутованого електричного кола, для миттєвих значень струмів та напруг складаємо повну систему лінійних диференційних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Розв'язавши цю систему диференційних рівнянь, одержуємо миттєві значення струмів у вітках i (t)та напруги на елементах кола и (і). Для будь-якої скомутованої схеми, в якій необхідно визначити змінні величини перехідного процесу (струми у вітках і напруги на елементах схеми), можна скласти р + s незалежних рівнянь для миттєвих значень струмів і напруг. За першим законом Кірхгофа для вузлів маємо (q – 1) незалежних рівнянь, за другим законом Кірхгофа для контурів маємо п незалежних рівнянь і зв'язок між і та и для окремих елементів схеми дає s рівнянь. Тут q, p, n, s – відповідно кількість вузлів, віток, контурів і пасивних елементів (r, L, С) в схемі. Усіх незалежних рівнянь, складених для скомутованого кола, буде: (q – 1) + п + s = (q – 1) + (р – (q – 1)) + s = p + s. Кількість невідомих величин перехідного процесу: р – струмів у вітках, s – напруг на пасивних елементах схеми, і разом: р + s. Отже, кількість невідомих і кількість рівнянь – однакові, а значить, задача розв'язується однозначно. Вигляд рівнянь такий:
Для прикладу розглянемо схему (мал. 3.4, а), в якій в момент часу
Кількість величин перехідного процесу: Кількість рівнянь, складених для скомутованого кола, можна скоротити до кількості реактивних елементів, наявних в схемі. Для цього підставимо (3.15) і (3.16) в (3.14) і, враховуючи, що
Рівняння (3.18) та (3.19) – це два рівняння з двома невідомими: Система рівнянь (3.18), (3.19) є системою лінійних (з постійними коефіцієнтами) диференційних неоднорідних (з правою частиною) рівнянь. Із математики відомо, що повне розв'язання такої системи рівнянь знаходять у вигляді суми часткового розв'язання неоднорідних рівнянь (з правою частиною) – вимушених складових величин перехідного процесу (
Знаходження вимушених величин перехідного процесу (
що відповідають схемі (рис. 3.4, в). Оскільки в правій частині системи рівнянь (3.21) є напруга (чи ЕРС) джерела (зовнішня вимушуюча сила), то часткове розв'язання (знаходження Знаходження вільних величин перехідного процесу (
фізично це означає, що досліджуване коло не має зовнішніх джерел електричної енергії, і процеси, що відбуваються в такому колі, проходять за рахунок запасу енергії, яка була в початковий момент часу в електричному й магнетному полях даного кола. Оскільки в електричних колах завжди відзначається розсіювання енергії, то запас енергії, яким коло володіло в початковий момент, з часом буде вичерпаний, й електромагнетні процеси в такому колі перестануть існувати. Тому можна стверджувати, що електричні та магнетні величини – струми, напруги, магнетні потоки, які визначаються із системи рівнянь (3.22), (3.23), без правої частини з плином часу загасають за експонентою й прямують до нуля. Ці складові, які зникають з плином часу, називають вільними величинами. Отже, струми і напруги, знайдені при розв'язанні однорідних диференційних рівнянь (3.22), (3.23), називають вільними складовими ( Продиференціюємо по t рівняння (3.22) і замість (du C/ dt) підставимо його значення з рівняння (3.23). Тоді одержимо одне рівняння з одним невідомим
У загальному вигляді для схеми з n – реактивними елементами рівняння (3.24) запишеться так:
де Порядок (n) рівняння (3.25), до якого можна привести повну систему диференційних рівнянь даного кола, завжди дорівнює кількості наявних в колі реактивних елементів (L і C): якщо котушки з'єднані послідовно – їх вважають однією котушкою, а конденсатори, з'єднані паралельно, – одним конденсатором. Класичний метод розв'язання лінійного однорідного диференційного рівняння (3.25) відомий з математики. Записуємо його характеристичне рівняння
і знаходимо корені цього рівняння: Залежно від характеру коренів характеристичого рівняння (3.26) розв'язання (3.25) одержується такого вигляду (запишемо для n =3): а) корені
Тоді
б) корені
тоді
в) два корені
тоді
де A 1, A 2, A 3, та A, Сталі інтегрування A 1, A 2, A 3, та A, Характеристичне рівняння (3.26) можна одержати й іншим шляхом – безпосередньо з електричної схеми. Для цього необхідно визначити комплекс вхідного опору схеми
Одержане рівняння буде повністю відповідати характеристичному рівнянню (3.26). Дійсні частини коренів характеристичного рівняння (3.26) чи (3.30) завжди від’ємні. Вільний процес в колі без зовнішніх джерел електричної енергії (напруги чи ЕРС) описується складовими
Знаходження сталих інтегрування. При складанні однорідних диференційних рівнянь ((3.22), (3.23) чи (3.24)), які описують вільний процес в електричному колі, ми відкидали ЕРС джерела енергії. Отже, загальні вирази для вільних складових ( Кожна перехідна величина ( Для знаходження сталих інтегрування будь-якої перехідної величини
…………………………………….
Вищенаведені величини Якщо користуватись наведеною системою диференційних рівнянь (3.18)-(3.19) відносно Якщо вже відомі На закінчення відзначимо, що основною складністю класичного методу є знаходження сталих інтегрування. Класичний метод розрахунку перехідних процесів в лінійних електричних колах можна звести до такої послідовності: 1. Розглядаємо схему до комутації, з якої визначаємо початкові умови – значення струмів у котушках і напруг на ємностях безпосередньо до комутації: 2. Проводимо комутацію і для скомутованого кола складаємо 3. Знаходимо вимушені складові величин перехідного процесу ( 4. Знаходимо вільні складові величини перехідного процесу 5. Визначаємо сталі інтегрування. 6. Із системи рівнянь, складених для скомутованого кола або безпосередньо за схемою, знаходимо решту величин перехідного процесу. 7. Будуємо графіки залежностей Нижче розглянемо декілька прикладів розв'язання задач перехідного процесу в електричних схемах класичним методом.
|