Утверждения.

1. Если предикат Р(х₁, х₂, …, х_n), заданный на множествах М₁, М₂, …, М_n является тождественно-истинным, то его множество истинности Р⁺ = М₁ ´ М₂´ …´ М_n.

2. Если предикат Р(х₁, х₂, …, х_n), заданный на множествах М₁, М₂, …, М_n является тождественно-ложным, то его множество истинности Р⁺ = Æ.

3. Если предикат Р(х₁, х₂, …, х_n), заданный на множествах М₁, М₂, …, М_n является выполнимым, то его множество истинности Р⁺ ¹ Æ.

4. Если предикат Р(х₁, х₂, …, х_n), заданный на множествах М₁, М₂, …, М_n является опровержимым, то его множество истинности Р⁺ ¹ М₁ ´ М₂´ …´ М_n.

Определение. Два n-местных предикатаР(х₁, х₂, …, х_n) и Q(х₁, х₂, …, х_n), заданных над одними и теми же множествами М₁, М₂, …, М_n, называются равносильными, если набор элементов превращает первый предикат в истинное высказывание Р(а₁, а₂, …, а_n) в том и только в том случае, когда этот набор превращает в истинное высказывание Q(а₁, а₂, …, а_n) второй предикат.

Утверждение о равносильности двух предикатов P и Q символически будем записывать так: P Û Q.

Пример.

Необходимо решить уравнение (или, другими словами, найти множество истинности предиката): 4х – 2 = -3х – 9.

Решение.

Делая равносильные преобразования, найдем множество истинности предиката:

4х – 2 = -3х – 9 Û 4х + 3х = -9 + 2 Û х = -1.

Определение. Предикат Q(х₁, х₂, …, х_n), заданный над множествами М₁, М₂, …, М_n, называется следствием предиката Р(х₁, х₂, …, х_n), заданного над теми же множествами, если он превращается в истинное высказывание на всех наборах значений предметных переменных на соответствующих множествах, на которых в истинное высказывание превращается предикат Q(х₁, х₂, …, х_n).

Другими словами (в терминах множеств истинности), можно сказать, что предикат Q является следствием предиката Р тогда и только тогда, когда Р⁺ Í Q⁺.

Теорема. Каждые два тождественно истинных (тождественно ложных)предиката, заданных на одних и тех же множествах, равносильны. Обратно, всякий предикат, равносильный тождественно истинному (тождественно ложному) предикату, сам является тождественно истинным (тождественно ложным) предикатом.

Теорема. Каждый тождественно истинный n-местный предикат является следствием любого другого n-местного предиката, определенного на тех же множествах. Каждый n-местный предикат является следствием любого тождественно ложного n-местного предиката, определенного на тех же множествах.