КАТЕГОРИИ:

Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Методические указания к практической работе № 9

⇐ ПредыдущаяСтр 18 из 18

Определение. Пусть А и В - множества. Произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (а, в), где аÎ А и вÎ В. Произведение обозначается А´ В.

А´ В={(a, b): aÎ A и bÎ B}.

Произведение двух множеств часто называют прямым или декартовым произведением. Заметим, что произведение n штук одного и того же множества А обозначается через Аⁿ.

Примеры.

1) Если А = {a, b}, B = {0, 1}, C = Æ, то

А´ В = {(a, 0), (a, 1), (b, 0), b, 1)},

B´ A = {(0, a) (0, b), (1, a), (1, b)},

A´ C = C´ A = Æ.

2) Пусть R – множество действительных чисел. Тогда R²– множество, которое обычно изображается в виде плоскости, а элементы из R² называются точками плоскости.

3) Пусть [a, b], [c, d] – отрезки прямой. Тогда [a, b]´ [c, d] – прямоугольник на плоскости.

Определение. Бинарным отношением (или просто отношением) в А´ В называется любое подмножество множества А´ В.

Примеры.

1) Пусть А = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Тогда A´ B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7)}.

2) Возьмем S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6)}. Ясно, что SÍ A´ B, т.е. S является бинарным отношением в A´ B. Это отношение может быть охарактеризовано следующей формой

S = {(x, y)Î A´ B: xÎ A является делителем yÎ B}.

Определение. Пусть А некоторое множество, а b (А) множество всех его подмножеств. Множество b (А) называется булеаном. Пусть W отношение в b (А) ´ b (А), задаваемое формой:

W = {(B, C)Î b (A)´ b (A): BÍ C}.

Тогда W является отношением включения множеств.

Если S является некоторым отношением и (x, y)Î S, то мы будем писать xSyи говорить, что x находится в отношении S с y.

Если S является отношением в А´ А, то говорят, что S является отношением в А.

Пусть S некоторое отношение в А´ В. Введем два множества:

D_S= {aÎ A: $bÎ B: (a, b)Î S},

R_S= {bÎ B: $aÎ A: (a, b)Î S}.

Определение. Множество D_S называется областью определения отношения, а множество R_S – областью значений. Если D_S = A, то такое отношение называют всюду определенным, а если R_S = B – сюръективным. Когда отношение одновременно является сюръективным и всюду определенным, то говорят, что S отношение на А´ В (соответственно на А, если В=А).

Определение. Отношение S называется инъективным, если из (a, b)Î S и (c, b)Î S следует, что а = с. Если отношение S является всюду определенным, инъективным и сюрьективным, то его называют биективным.

Иногда отношения называются соответствием между элементами множества А и В.

Определение. Пусть S некоторое отношение в А´ В. Введем отношение S^-1следующим образом: (у, х) Î S^-1 Û (х, у) Î S. Отношение S^-1 назовем обратным отношением.

Определение. Отношение S на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) аSа для " аÎ А (рефлексивность);

2) если аSв, то вSа (симметричность);

3) если аSв и вSс, то аSс (транзитивность).

В дальнейшем отношение эквивалентности будем обозначать значком».

Определение. Пусть задано отношение эквивалентности на А. Множество ХÍ А называется классом эквивалентности для этого отношения, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) для любых хÎ Х и уÎ Х выполняется х» у;

2) если хÎ Х, уÎ А и х» у, то уÎ Х.

Пусть на А задано отношение эквивалентности. Введем следующее обозначение:

[x]= {yÎ A: x» y}.

Нетрудно видеть из определений, что [x] является классом эквивалентности. Его называют классом эквивалентности, порожденным элементом х.

Лемма 1. Для классов эквивалентности [x] и [y] возможны только следующие два случая:

1) [x] = [y];

2) [x]Ç [y] = Æ.

В этом случае говорят, что {A_a} задает разбиение А. Из доказанной леммы вытекает, что классы эквивалентности задают разбиение на А. Оказывается, верно и обратное.

Лемма 2. Если {A_a} - некоторое разбиение множества А, то отношение S, определяемое следующим условием: аSв Û $ a: аÎ А_a и вÎ А_a, является отношением эквивалентности.

Теорема. Пусть S - некоторое отношение эквивалентности на А. Пусть {А_a} - разбиение множества А, порожденное этим отношением (лемма 1). Пусть Т - отношение эквивалентности, порожденное разбиением {А_a} (лемма 2). Тогда S=T.

Варианты заданий

Вариант 1

Задание 1. Найдите область определения, область значений отношения P. Является ли отношение P рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

Задание 2. Даны отображения (числовые функции) ƒ и g. Найдите область определения и область значений отображений. Определите, являются ли они инъективными, сюрьективными или биективными в найденных областях. Найдите f (A), g (A).

f (x) = (x + 1)² – 1; g (x) = x + 1; А = [–1.5; 1]; В = [0; 1]

Вариант 2

f (x) = –(x + 1)²; g (x) = – x –2; А = [–1.5; 1]; В = [–2; –1]

Вариант 3

f (x) = (x + 1)² + 1; g (x) = x + 3; А = [–1.5; 1]; В = [2; 3]

Вариант 4

f (x) = (x + 1)²; g (x) = x + 2; А = [–1.5; 1]; В = [1; 2]

Вариант 5

f (x) = (x – 1)² – 1; g (x) = x – 1; А = [0.5; 3]; В = [0; 1]

Вариант 6

f (x) = (x – 1)² + 1; g (x) = x + 1; А = [0.5; 3]; В = [2; 3]

Вариант 7

f (x) = (x – 1)²; g (x) = x; А = [0.5; 3]; В = [1; 2]

Вариант 8

f (x) = 1– (x + 1)²; g (x) = x+ 1; А = [–1.5; 1]; В = [–1; 0]

Вариант 9

f (x) = – (x – 1)² –1; g (x) = x– 3; А = [0.5; 3]; В = [–3; –2]

Вариант 10

f (x) = 1– (x – 1)²; g (x)= x –1; А = [0.5; 3]; В = [–1; 0]

Вариант 11

f (x) = – (x – 1)²; g (x)= x; А = [–1.5; 1]; В = [–2; –1]

Вариант 12

f (x) = – (x – 1)²; g (x)= x – 2; А = [0.5; 3]; В = [–2; –1]

Вариант 13

f (x) = (x+ 1)²–1; g (x)= – x – 1; А = [–1.5; 1]; В = [0; 1]

Вариант 14

f (x) = (x+ 1)² +1; g (x)= 1– x; А = [–1.5; 1]; В = [2; 3]

Вариант 15

f (x) = (x – 1)²–1; g (x)= 1 – x; А = [0.5; 3]; В = [0; 1]

Вопросы к защите практической работы № 9

1. Понятие бинарных отношений.

2. Что является областью определения и областью значений отображений?

3. Какая функция называется инъективной?

4. Какая функция называется сюръективной?

5. Какая функция называется биективной?

6. Способы задания бинарного отношения.

7. Что называется классом эквивалентности?

⇐ Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 1718

Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.016 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал