Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Отрицание предложений с кванторами
|
|
Известно, что часто для отрицания некоторого предложения достаточно предпослать сказуемому этого предложения отрицательную частицу «не». Например, отрицанием предложения «Река х впадает в Черное море» является предложение «Река х не впадает в Черное море». Годится ли этот прием для построения отрицаний предложений с кванторами? Рассмотрим пример.
Предложения «Все птицы летают» и «Все птицы не летают» не являются отрицаниями друг друга, т. к. они оба ложны. Предложения «Некоторые птицы летают» и «Некоторые птицы не летают» не являются отрицанием друг друга, т. к. они оба истинны. Таким образом, предложения, полученные добавлением частицы «не» к сказуемому предложений «Все х суть Р» и «Некоторые х суть Р» не являются отрицаниями этих предложений.
Универсальным способом построения отрицания данного предложения является добавление словосочетания «наверно, что» в начале предложения. Таким образом, отрицанием предложения «Все птицы летают» является предложение «Неверно, что все птицы летают»; но это предложение имеет тот же смысл, что и предложение «Некоторые птицы не летают». Отрицанием предложения «Некоторые птицы летают» является предложение «Неверно, что некоторые птицы летают», которое имеет тот же смысл, что и предложение «Все птицы не летают».
Условимся отрицание предложения 
записывать как 
, а отрицание предложения 
– как 
. Очевидно, что предложение имеет тот же смысл, а следовательно, то же значение истинности, что и предложение 
, а предложение 
– тот же смысл, что 
. Иначе говоря, равносильно ; равносильно 
.
Правило: Для того, чтобы построить отрицание высказываний с кванторами, нужно заменить квантор общности на квантор существования (и наоборот), а предложение стоящие после квантора, - на его отрицание.
В символическом виде эти правила можно записать так:
= ( xÎ X) 
= ( xÎ X)
Таким образом, отрицание высказывания с кванторами может быть построена двумя способами:
1) Заменить квантор общности на квантор существования (и наоборот), а предложение стоящие после квантора, - на его отрицание.
2) Перед данным высказыванием ставятся слова «неверно, что».
Кванторы общности и существования называют двойственными относительно друг друга. Выясним теперь, как строить отрицание предложения, начинающегося с нескольких кванторов, например, такого: 
.
Последовательно применяя сформулированное выше правило, получим: 
равносильно 
, что равносильно 
, что равносильно 
.
Варианты заданий
Вариант 1
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Число x – чётное», Q(x): «Число x – кратно 3». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) (" xÎ N): P(x)
б) ($xÎ N): Q(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Всякое число, либо положительно, либо отрицательно, либо равно нулю»
b) «Существует число х 
R, которое является корнем уравнения х2+1=0»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x является другом y»
б) «x живёт в одном городе с y»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «Из всякого положения есть выход»
b) «В каждом городе есть район, в каждой школе которого есть класс, в котором ни один человек не занимается спортом»
Вариант 2
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Число x – нечётное», Q(x): «Число x – кратно 3». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) ($xÎ N): q(x)
б) (" xÎ N): p(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Какого бы ни было число y, квадрат его не отрицателен»
b) «Для любого числа х справедливо неравенство х2+6> 0»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x является родителем y»
б) «x живёт в соседнем доме с y»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «Если последняя цифра числа x чётная, то это число делится на 2»
b) «Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, являются простыми числами»
Вариант 3
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Четное число х делятся на 3», Q(x): «Число x – оканчивается на 3». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) (" xÎ N): P(x)
б) ($xÎ N): Q(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Некоторые двузначные числа делятся на 12»
b) «В каждом классе хотя бы один ученик не справился с контрольной работой».
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x является отцом y»
б) «x учится в одной школе с y»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «Во всякой школе некоторые ученики увлекаются программированием»
b) «Число 3 - чётное»
Вариант 4
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Число x – простое», Q(x): «Число x – кратно 5». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) ($xÎ N): q(x)
б) (" xÎ N): p(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль»
b) «Уравнение х + 3 = 5 имеет решение в множестве натуральных чисел»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x является сыном y»
б) «x отдыхает в одном городе с y»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «Все воздушные шары зелёные»
b) «Некоторые млекопитающие не живут на суше»
Вариант 5
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Число x – составное», Q(x): «Число x – кратно 7». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) (" xÎ N): P(x)
б) ($xÎ N): Q(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Квадрат любого числа положителен»
b) «Сумма двух любых нечетных чисел кратна 2»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x является соседом y»
б) «x помогает работать y»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «Каждый моряк умеет плавать»
b) «Не все высказывания истинны»
Вариант 6
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Число x – целое», Q(x): «Число x – нуль». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) ($xÎ N): q(x)
б) (" xÎ N): p(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Некоторые четные числа делятся на 3»
b) «В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x является другом y»
б) «x живёт в одном подъезде с y»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «Существуют числа, не кратные 7»
b) «Всякий цветок красив»
Вариант 7
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Число x – единица», Q(x): «Число x – кратно 6». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) (" xÎ N): P(x)
б) ($xÎ N): Q(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Любое число из множества А = {6, 8, 12, 28} кратно 2»
b) «Среди чисел множества Х = {1, 2, 3, 4} найдется простое число»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x является другом родителей y»
б) «x играет с y»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «Любое действительное число является натуральным»
b) «Найдется треугольник с двумя прямыми углами»
Вариант 8
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Число x – нечётное», Q(x): «Число x – простое». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) ($xÎ N): q(x)
б) (" xÎ N): p(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Некоторые нечетные числа делятся на 4»
b) «Все прямоугольники являются многоугольниками»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x является коллегой y»
б) «x живёт на соседней улице с y»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «Существуют остроугольные треугольники»
b) «Все животные млекопитающие»
Вариант 9
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Число x – нечётное», Q(x): «Число x – начинается на 1». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) (" xÎ N): P(x)
б) ($xÎ N): Q(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Некоторые натуральные числа четные»
b) «Любое натуральное число является решением уравнения: 2х- 3= 1»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x является дедом y»
б) «x едет в Оренбург вместе с y»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «Существуют числа, кратные 7»
b) «Всякие два угла не равны»
Вариант 10
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Число x – начинается на 2», Q(x): «Число x используют при счете». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) ($xÎ N): q(x)
б) (" xÎ N): p(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику»
b) «Существует натуральное число, являющееся решением уравнения х2 = -1»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x является родственником y»
б) «x учит ездить y на велосипеде»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «Для всякого однозначного натурального числа верно неравенство х+1< 8»
b) «Некоторые учащиеся класса отличники»
Вариант 11
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Квадрат числа x – нечётное число», Q(x): «Число x – простое». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) (" xÎ N): P(x)
б) ($xÎ N): Q(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «В любом четырехугольнике диагонали равны»
b) «Существуют четные числа, кратные 7»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x выражает благодарность y»
б) «x учит y водить автомобиль»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «Все птицы имеют черную окраску»
b) «Существуют числа, не кратные 7»
Вариант 12
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Число x – оканчивается на 3», Q(x): «Число x – делится на 4». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) ($xÎ N): q(x)
б) (" xÎ N): p(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Некоторые нечетные числа делятся на 9»
b) «Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x является одноклассником y»
б) «x делает подарок для y»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «В любом треугольнике сумма внутренних углов равна 180 
»
b) «Не все учащиеся сдали экзамен по математике»
Вариант 13
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Число x – делится на х», Q(x): «Число x – е» (е - экспонента). Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) (" xÎ N): P(x)
б) ($xÎ N): Q(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Во всяком прямоугольнике диагонали равны»
b) «Хотя бы одно из чисел первого десятка составное»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x является одногруппником y»
б) «x путешествует с y»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «В каждой стране найдется город, у всех жителей которого один и тот же цвет глаз»
b) «Два и только два объекта обладают свойством Р»
Вариант 14
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Число x – π» (π =3, 14…), Q(x): «Число x – делится на 1». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) ($xÎ N): q(x)
б) (" xÎ N): p(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Существует число хтакое, что х+ 10=2»
b) «Уравнение f(x)=0имеет хотя бы один корень»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x показывает город y»
б) «x обедает с y»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «Один и только один объект обладает свойством Р»
b) «Существует книга, в которой есть страница, в каждой строке которой найдется хотя бы одна буква «а»
Вариант 15
Задание 1. На множестве натуральных чисел заданы неопределённые высказывания: P(x): «Число x – нечётное, простое», Q(x): «Число x – двузначное». Сформулировать высказывания, в словесной форме и определите их истинность.
а) (" xÎ N): P(x)
б) ($xÎ N): Q(x)
Задание 2. Записать следующие высказывания, воспользовавшись кванторами и определить их истинность:
a) «Модуль любого числа положителен»;
b) «Существует x такое, что x-2=5»
Задание 3. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P(x, y), описать в словесной форме полученные высказывания и определить их истинность, если P(x, y), определенный на множестве людей, означает:
а) «x обнаруживает ошибку y»
б) «x живёт на одной улице с y»
Задание 4. Построить отрицание высказывания. Определить истинность высказывания и его отрицание:
a) «Во всяком городе есть район, во всех домах которого не менее шести этажей»
b) «По меньшей мере один объект обладает свойством Р»
Вопросы к защите практической работы № 8
1. Что называется квантором всеобщности? Каким символом он обозначается?
2. С помощью, каких слов выражается квантор общности? Приведите примеры.
3. Что называется квантором существования? Каким символом он обозначается?
4. С помощью, каких слов выражается квантор существования? Приведите примеры.
5. Что называется квантором единственности? Каким символом он обозначается?
6. С помощью, каких слов выражается квантор единственности? Приведите примеры.
7. Измениться ли истинность высказывания, если поменять местами в многоместном предикате одноименные кванторы? Привести примеры.
8. Измениться ли истинность высказывания, если поменять местами в многоместном предикате разноименные кванторы? Привести примеры.
9. Перечислить способы построения отрицания высказывания с кванторами. Привести примеры.