Логические операции над предикатами.

Предикаты так же, как высказывания, могут принимать два значения: “истина” (1) и “ложь” (0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний, в результате чего из элементарных предикатов формируются сложные предикаты (как и в логике высказываний, где из элементарных высказываний формировались сложные, составные). Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов. Эти операции в логике предикатов сохраняют тот же смысл, который был им присвоен в логике высказываний.

Пусть на некотором множестве M определены два предиката P(x) и Q(x).

Определение 1. Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый (сложный) предикат , который принимает значение “истина” при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение “истина”, и принимает значение “ложь” во всех остальных случаях.

Очевидно, что областью истинности предиката является общая часть области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. пересечение .

Так, например, для предикатов P(x): “x – четное число” и Q(x): “x кратно 3” конъюнкцией является предикат “x – четное число и x кратно трем”, т.е. предикат “x делится на 6”.

Определение 2. Дизъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который принимает значение “ложь” при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Ясно, что областью истинности предиката является объединение области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. .

Определение 3. Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат или , который принимает значение “истина” при всех значениях , при которых предикат P(x) принимает значение “ложь”, и принимает значение “ложь” при тех значениях , при которых предикат P(x) принимает значение “истина”.

Очевидно, что , т.е. множество истинности предиката является дополнением к множеству I_P.

Определение 4. Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно P(x) принимает значение “истина”, а Q(x) – значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Поскольку при каждом фиксированном справедлива равносильность , то .

Определение 5. Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который обращается в “истину” при всех тех и только тех , при которых P(x) и Q(x) обращаются оба в истинные или оба в ложные высказывания.

Для его множества истинности имеем:

Варианты заданий

Вариант 1

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) А(х): ˝ 14≥ 2х˝

В(х): ˝ 4х+1=17˝, х R

б) F(х; у): ˝ х+у=3˝

Q(х; у): ˝ х²+(у-2)²≤ 16˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ 3х> 6˝

А(х): ˝ х≥ -5˝

б) Р(х): ˝ 2х+1³ 11˝

Q(х): ˝ 2х+3=7˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вариант 2

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) А(х): ˝ 10≥ х˝

В(х): ˝ 7х-5=16˝, х R

б) F(х; у): ˝ х-2у=2˝

Q(х; у): ˝ х²+у²≤ 36˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ х≤ 12˝

Q(х): ˝ х< -10˝

б) Р(х): ˝ 4+3х³ 13˝

Q(х): ˝ 7х+8=6˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вариант 3

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) А(х): ˝ 6≥ х˝

В(х): ˝ 3х+4=16˝, х R

б) F(х; у): ˝ х-у=2˝

Q(х; у): ˝ х²+у²≤ 16˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ х> 9˝

А(х): ˝ х≥ -2˝

б) Р(х): ˝ х+2³ 20˝

Q(х): ˝ 2х+3=17˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вариант 4

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) А(х): ˝ 18≥ х˝

В(х): ˝ х-4=14˝, х R

б) F(х; у): ˝ х+у=3˝

Q(х; у): ˝ х²+у²≤ 16˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ х≤ 10˝

Q(х): ˝ х< -5˝

б) Р(х): ˝ 4+х³ 23˝

Q(х): ˝ 3х+2=16˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вариант 5

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) В(х): ˝ 6< х˝

А(х): ˝ -2х+3=-9˝, х R

б) F(х; у): ˝ х+3у=6˝

Q(х; у): ˝ х²+(у-3)²≤ 25˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ х> -6˝

А(х): ˝ -2х≥ 4˝

б) Р(х): ˝ 2-х³ 10˝

Q(х): ˝ 2х+1=7˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вариант 6

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) А(х): ˝ 13≥ х˝

В(х): ˝ х+3=11˝, х R

б) F(х; у): ˝ х+у=8˝

Q(х; у): ˝ х²+у²≤ 16˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ х≤ 6˝

Q(х): ˝ 2-х< -2˝

б) Р(х): ˝ 4-х³ 10˝

Q(х): ˝ 3х+5=6˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вариант 7

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) В(х): ˝ 4< х˝

А(х): ˝ 2х+5=7˝, х R

б) F(х; у): ˝ х+у=6˝

Q(х; у): ˝ х²+у²≤ 16˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ 4х> 8˝

А(х): ˝ 6х≥ -3˝

б) Р(х): ˝ -х-2³ 10˝

Q(х): ˝ 6х+3=7˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вариант 8

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) В(х): ˝ 9< х˝

А(х): ˝ 4х+3=7˝, х R

б) F(х; у): ˝ 2х+у=4˝

Q(х; у): ˝ (х-2)²+у²≤ 25˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ х≤ 6˝

Q(х): ˝ 3х+1< -2˝

б) Р(х): ˝ 3+х³ 13˝

Q(х): ˝ 4х+2=6˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вариант 9

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) А(х): ˝ 15≥ х˝

В(х): ˝ 2х+4=16˝, х R

б) F(х; у): ˝ 3х+у=2˝

Q(х; у): ˝ (х-3)²+у²≤ 16˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ х> 16˝

А(х): ˝ -2х≥ -6˝

б) Р(х): ˝ 3х-2³ 10˝

Q(х): ˝ 5х-3=7˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вариант 10

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) А(х): ˝ 12≥ х˝

В(х): ˝ х+9=16˝, х R

б) F(х; у): ˝ х+5у=2˝

Q(х; у): ˝ х²+у²≤ 64˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ х≤ 6˝

Q(х): ˝ 2х< -2˝

б) Р(х): ˝ 4+2х³ 12˝

Q(х): ˝ 3х-9=6˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вариант 11

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) А(х): ˝ 20≥ 2х˝

В(х): ˝ 3х+12=48˝, х R

б) F(х; у): ˝ -х+у=-2˝

Q(х; у): ˝ (х-2)²+у²≤ 16˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ х> 4˝

А(х): ˝ х≥ -2˝

б) Р(х): ˝ х+4³ 10˝

Q(х): ˝ 3х+2=8˝

Задание 3. Найди множество истинности для следующих предикатов и их отрицаний:

А (х): «х > 3.5»; В (у): «2у < у»;

D (z): «».

Для тех предикатов, переменные которых – числа, изобрази соответствующие множества на числовой прямой.

Вариант 12

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) А(х): ˝ 5≥ х˝

В(х): ˝ х+4=6˝, х R

б) F(х; у): ˝ 3х+у=2˝

Q(х; у): ˝ х²+(у-4)²≤ 16˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ х≤ 4˝

Q(х): ˝ х< -8˝

б) Р(х): ˝ 4+х³ 10˝

Q(х): ˝ 3х+9=6˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вариант 13

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) В(х): ˝ 6< х˝

А(х): ˝ 2х+3=7˝, х R

б) F(х; у): ˝ х+у=4˝

Q(х; у): ˝ х²+у²≤ 25˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ х> 8˝

А(х): ˝ х≥ -5˝

б) Р(х): ˝ х+2³ 15˝

Q(х): ˝ 2х+3=17˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вариант 14

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) А(х): ˝ 11≥ х˝

В(х): ˝ х+5=15˝, х R

б) F(х; у): ˝ х+2у=2˝

Q(х; у): ˝ х²+у²≤ 9˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ х≤ 5˝

Q(х): ˝ -х< 2˝

б) Р(х): ˝ 4+х³ 11˝

Q(х): ˝ 3х+2=8˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вариант 15

Задание 1. Найти множество истинности коньюнкции двух предикатов

а) В(х): ˝ 7< х˝

А(х): ˝ 2х+4=8˝, х R

б) F(х; у): ˝ х+2у=4˝

Q(х; у): ˝ х²+у²≤ 4˝, х R

Задание 2. Найти множество истинности дизъюнкции двух предикатов

а) Р(х): ˝ х> 6˝

А(х): ˝ х≥ -3˝

б) Р(х): ˝ х+2³ 10˝

Q(х): ˝ 2х+3=5˝

Задание 3. Найти области истинности предикатов: , , , , , , заданных на множестве :

,

Вопросы к защите практической работы № 7

1. Что называется предикатом? Приведите примеры предикатов.

2. Что называется множеством истинности предиката?

3. Какие предикаты называются одноместными, двуместными, n-местными? Как они обозначаются? Приведите примеры.

4. Перечислите операции, которые можно осуществлять над предикатами.

5. Что называют конъюнкцией двух предикатов?

6. Что называют дизъюнкцией двух предикатов?

7. Что называют импликацией двух предикатов?

8. Что называют эквиваленцией двух предикатов?

9. Что называют отрицанием предиката?

10. Какие предикаты называются равносильными? Приведите примеры равносильных предикатов.