Задача2.

Таблица 1–Данные для расчетов

Определите на основании данных таблицы 1:

1) Основные категории товарооборота (валовый, оптовый, розничный, чистый);

2) Коэффициент звенности товаропродвижения;

3) Средние товарные запасы, показатели скорости товарооборота – в числе оборотов и в числе оборотов и в днях.

Практическое занятие 10

Тема: Алгоритмы расчета сезонных колебаний, индексов товарооборота.

Цель занятия: выявить сезонные колебания и индексы товарооборота

Краткие теоретические сведения

Существует ряд методов изучения и измерения сезонных колебаний. Самый простой заключается в построении специальных показателей, которые называются индексами сезонности i_S. Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. В общем виде они определяются отношением исходных (эмпирических) уровней ряда динамики к теоретическим (расчетным) уровням , выступающим в качестве базы сравнения:

I_s = yi / yt. (1)

Именно в результате того, что в этой формуле измерение сезонных колебаний производится на базе соответствующих теоретических уровней тренда , в исчисляемых при этом индивидуальных индексах сезонности влияние основной тенденции развития элиминируется (устраняется). Для того чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года, индексы сезонности вычисляют по данным за несколько лет (не менее трех), распределенным по месяцам. Поскольку на сезонные колебания могут накладываться случайные отклонения, для их устранения производится усреднение индивидуальных индексов одноименных внутригодовых периодов анализируемого ряда динамики. Поэтому для каждого периода годового цикла определяются обобщенные показатели в виде средних индексов сезонности I_s:

I_s = ∑ i_s / n. (2)

Вычисленные на основе этой формулы средние индексы сезонности (с применением в качестве базы сравнения соответствующих уровней тренда) свободны от влияния основной тенденции развития и случайных отклонений. В зависимости от характера тренда формула (2) принимает следующие формы:

1) для рядов внутригодовой динамики с ярко выраженной основной тенденцией развития

I_s = (∑ yi / yt) / n. (3)

Выступающие при этом в качестве переменной базы сравнения теоретические уровни представляют своего рода " среднюю ось кривой", так как их расчет основан на положениях метода наименьших квадратов. Поэтому измерение сезонных колебаний на базе переменных уровней тренда называется способом переменной средней;

2) для рядов внутригодовой динамики, в которых повышающийся (снижающийся) тренд отсутствует или он незначителен

I_s = yi / y. (4)

В формуле (4) базой сравнения является общий для анализируемого ряда динамики средний уровень . Поскольку для всех эмпирических уровней анализируемого ряда динамики этот общий средний уровень является постоянной величиной, то применение формулы (4) называется способом постоянной средней. Для наглядного представления сезонной волны исчисленные индексы сезонности изображают в виде графика (линейной диаграммы). Для определения в формуле (1) теоретических уровней тренда важно правильно подобрать математическую функцию, по которой будет производиться аналитическое выравнивание в анализируемом ряду динамики. Это наиболее сложный и ответственный этап изучения сезонных колебаний. От обоснованности подбора той или иной математической функции во многом зависит практическая значимость получаемых в анализе индексов сезонности.

При использовании способа аналитического выравнивания ход вычислений индексов сезонности следующий:

- по соответствующему полиному вычисляются для каждого месяца (квартала) выравненные уровни на момент времени t;

- определяются отношения фактических месячных (квартальных) данных к соответствующим выровненным данным (в процентах);

- находятся средний арифметические из процентных соотношений, рассчитанных по одноименным периодам в процентах.

Расчет заканчивается проверкой правильности вычислений индексов. Так как средний индекс сезонности для всех месяцев (кварталов) должен быть 100%, то сумма полученных индексов по месячным данным равна 1200, а сумма по четырем кварталам – 400. Классификация наиболее распространенных методов измерения сезонных волн представлена в таблице 1.

Таблица 1–Классификация методов измерения сезонных волн

Изучение сезонных колебаний в деятельности торгового предприятия

Применение формул для изучения сезонных колебаний проиллюстрируем на примере одного из торговых предприятий. Имеются данные о продаже молочных продуктов в одном из магазинов по кварталам 2000 – 2003 гг.

Таблица 2– Среднедневная реализация, молочных продуктов, т

Необходимо вычислить индексы сезонных колебаний реализации данных продуктов.

Из таблицы 2 видно, что в 2003 г. рост продажи молочных продуктов по сравнению с 2000 г. достиг 152, 6%, или в среднем за год интенсивность роста составила 115, 1% . Это позволяет считать, что в анализируемом году динамики имеется значительная тенденция роста. Графическое изображение исходной информации подтверждает эти выводы (рис. 31).

Выводы о значительном росте реализации данной продукции в 2000 – 2003гг. предопределяет выбор формулы для расчета индексов сезонности способом переменной средней.

По содержащимся в таблице 2 показателям анализируемого ряда динамики можно выдвинуть рабочую гипотезу о возможных типах математических функций для получения теоретических уровней тренда.

С известной степенью приближения это может быть прямолинейная функция:

Y_t = a₀+a₁t (5)

В основе такого предположения лежит характер изменения абсолютных приростов. При общем среднем абсолютном приросте 10, 9m((94.6 – 62.0) / 3) отклонения по отдельным годам не столь значительны: -0, 7m в 2001 г. и +0, 7m в 2002 г.

Но при наибольшем абсолютном приросте в 2002 г. (+11, 6m) в 2003 г. было снижение этого показателя до 10, 8m. Эта максимальная интенсивность роста продажи данного продукта в 2002 г. и последующее снижение в 2003 г. отображает показатель темпа наращивания, %: 16, 5 < 18, 7 > 17, 4.

Цепные темпы роста показывают затухание интенсивности реализации данной продукции из года в год: 116, 5 > 116, 1 > 112, 9.

Все эти показания анализируемого ряда динамики позволяют сделать предположения о возможном применении в аналитическом выравнивании параболы второго порядка:

Y_t = a₀+a₁t + a₂t² (6)

Таким образом, на основе статистических показателей изменений уровней анализируемого ряда динамики сделано предположение о возможном применении в аналитическом выравнивании исходных данных двух математических функций

Для решения вопроса о том, какая их них является адекватной, может применяться критерий минимальности стандартной ошибки аппроксимации:

σ _y= (√ ∑ (yt-yi)²) / n (6)

Для этого, прежде всего, должны быть решены выбранные математические функции.

Для определения параметров уравнений составляется матрица расчетных показателей (таблица 3).

Таблица 3 – при St=0

Год, квартал
	I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV	-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1			49, 9 75, 8 73, 9 48, 5 48, 1 92, 3 93, 4 55, 1 50, 9 106, 5 108, 8 68, 8 60, 7 120, 6 126, 7 70, 5	-748, 5 -985, 4 -812, 9 -436, 5 -336, 7 -461, 5 -280, 2 -55, 1 50, 9 319, 5 544, 0 481, 6 546, 3 1326, 6 1647, 1 1057, 5	11227, 5 12810, 2 8941, 9 3928, 5 2356, 9 2307, 5 840, 6 55, 1 50, 9 958, 5 2720, 0 3371, 2 4916, 7 14592, 6 21412, 3 15862, 5
S					1250, 5	1856, 7	106352, 9

Рассчитаем параметры линейной функции:

ɑ _o = ∑ y / n = 1250, 5 / 16 = 78, 16

ɑ ₁ = (∑ t x y) / (∑ t²) = 1856, 7 / 1360 = 1, 365

Уравнение линейной функции примет вид:

Y_t= 78, 16 + 1, 365t (7)

Производится расчет теоретических уровней тренда для каждого периода анализируемого ряда динамики :

2000 г. Y_I = 78, 16 + 1, 365 x (-15) = 57, 68

Y_II = 78, 16 + 1, 365 x (-13) = 60, 41

2003 г. Y_IV = 78, 16 + 1, 365 x 15 = 98, 63

Полученные теоретические значения уровней тренда записаны в гр. 4 табл. 4

Рассчитаем параметры для функции параболы второго порядка:

ɑ ₀ = (∑ t⁴∑ y - ∑ t²∑ t²y) / (n∑ t⁴ - ∑ t²∑ t²) = (206992 x 1250, 5 – 1360 x 106352, 9) / (16 x 206992 – 1360 x 1360) = 78, 1

ɑ ₁ = (∑ t x y) / ∑ t² = 1856, 7 / 1360 = 1, 365

ɑ ₂ = (n∑ t²y - ∑ t²∑ y) / (n∑ t⁴ - ∑ t² ∑ t²) = (16 x 106352, 9 – 1360 x 1250, 5) / (16 x 206992 – 1360 x 1360)

Уравнение параболы второго порядка примет вид:

Y_t = 78, 1 + 1, 365t + 0, 0007t² (3.5)

По модели (3.5) рассчитываются теоретические уровни для каждого периода анализируемого ряда динамики :

2000 г. Y_I = 78, 16 + 1, 365 + 0, 0007 = 57, 78

Y_II = 78, 16 + 1, 365 + 0, 0007 = 60, 47

2003 г. Y_IV = 78, 16 + 1, 365 =0, 0007 = 98, 73

Полученные теоретические уровни тренда записаны в гр. 5 табл. 3.3.

Для определения показаний стандартной ошибки аппроксимации составляется матрица расчетных показателей (табл. 4.

Таблица 4 – Матрица расчетных показателей для определения стандартной ошибки аппроксимации

Год, квартал			Теоретические уровни тренда по моделям	Отклонения теоретических уровней от эмпирических по моделям
прямоли-нейной функции	параболы второго порядка	прямолинейной функции	параболы второго порядка
I II III IV	-15 -13 -11 -9	49, 9 75, 8 73, 9 48, 5	57, 68 60, 41 63, 14 65, 88	57, 78 60, 47 63, 17 65, 87	7, 78 -15, 39 -10, 76 17, 38	60, 5 236, 8 115, 8 302, 1	7, 88 -15, 33 -10, 73 17, 37	62, 1 235, 0 115, 1 301, 7
I II III IV	-7 -5 -3 -1	48, 1 92, 3 93, 4 55, 1	68, 61 71, 34 74, 07 76, 79	68, 58 71, 29 74, 00 76, 74	20, 51 -20, 96 -19, 33 21, 69	420, 7 439, 3 373, 6 470, 5	20, 48 -21, 00 -19, 40 21, 64	419, 4 411, 2 376, 4 468, 3
I II III IV		50, 9 106, 5 108, 8 68, 8	79, 52 82, 25 84, 98 87, 72	79, 47 82, 20 84, 94 87, 69	28, 62 -24, 25 -23, 82 18, 92	819, 2 588, 1 567, 4 357, 0	28, 57 -24, 30 -23, 86 18, 89	816, 2 590, 5 569, 3 356, 8
I II III IV		60, 7 120, 6 126, 7 70, 5	90, 45 93, 18 95, 91 98, 63	90, 44 93, 20 95, 96 98, 73	29, 75 -27, 42 -30, 19 28, 13	885, 1 751, 8 929, 5 791, 3	29, 74 -27, 40 -30, 74 28, 23	884, 5 750, 8 944, 9 796, 9
S		1250, 5	1250, 56	1250, 53	´	8109, 7	´	8129, 1

По итоговым данным гр. 7 и 9 табл. 4 определяется по формуле ошибка аппроксимации :

1) для модели Y_t = 78, 16 + 1, 365t

σ y=√ 8109, 7/16 = ± 22, 51:

2) для модели Y_t = 78, 1 + 1, 365t + 0, 0007t²

σ y=√ 8129, 7/16 = ± 22, 54

Из сравнения вычисленных значений стандартной ошибки аппроксимации следует, что по критерию минимальности предпочтительнее будет трендовая модель, синтезированная на основе прямолинейной функции. Поэтому определение индексов сезонности реализации данной продукции следует осуществлять на базе теоретических уровней тренда, вычисленных по модели: Y_t = 78, 16 + 1, 365t.

Теоретические уровни тренда анализируемого ряда динамики изображены на графике (см. рис. 3.1) в виде пунктирной прямой линии. Для определения индексов сезонности используется следующая матрица расчетных показателей (таблица 5).

Таблица 5

Год, квартал					Год, квартал
I II III IV	49, 9 75, 8 73, 9 48, 5	57, 68 60, 44 63, 15 65, 88	86, 5 125, 4 117, 0 73, 6		I II III IV	50, 9 106, 5 108, 8 68, 8	79, 52 82, 25 84, 98 87, 72	64, 0 129, 5 128, 0 78, 4
I II III IV	48, 1 92, 3 93, 4 55, 1	68, 61 71, 34 74, 07 76, 79	70, 1 129, 4 126, 1 71, 8		I II III IV	60, 7 120, 6 126, 7 70, 5	90, 45 93, 18 95, 91 98, 63	67, 1 129, 4 132, 1 71, 5

В гр. 4 таблицы 5 определены индивидуальные индексы сезонности , характеризующие отношение эмпирических уровней к теоретическим для каждого периода анализируемого ряда внутригодовой динамики.

Для элиминирования действия факторов случайного порядка производится усреднение индивидуальных индексов сезонности. Для этого по формуле производится расчет средних индексов сезонности по одноименным кварталам анализируемого ряда внутригодовой динамики:

I кв.: (86, 5 + 70, 1 + 64, 0 + 67, 1) / 4 = 71, 9%

II кв.: (125, 4 + 129, 4 + 129, 5 + 129, 4) / 4 = 128, 4%

III кв.: (117, 0 + 126, 1 + 128, 0 + 132, 1) / 4 = 125, 8%

IV кв.: (73, 6 + 71, 8 + 78, 4 + 71, 5) / 4 = 73, 8%

Вычисленные средние индексы сезонности составляют модель сезонной волны реализации молочной продукции во внутригодовом цикле.

Наибольший объем продаж приходится на II и III кварталы с превышением среднегодового уровня соответственно на 28, 4 и 25, 8%. В I и IV кварталах происходит снижение среднегодового уровня соответственно на 28, 1 и 26, 2%.

Более наглядно полученная модель сезонной волны может быть представлена графически (рис. 3.2).

Покажем расчет индексов сезонности способом постоянной средней на примере данных о товарообороте торгового предприятия (табл. 3.5).

Таблица 6– Среднедневной товарооборот, тыс. руб.

Необходимо определить индексы сезонности товарооборота.

Так как среднегодовой темп роста составил Тр = √ 74, 4 / 73, 4 = 1, 007 или 100, 7%, то в данном случае нет значительной тенденции роста. Следовательно, используем способ постоянной средней.

Исчислим средние уровни одноименных внутригодовых периодов :

для января у_х= (68, 4 + 72, 8 + 65, 1) / 3 = 68, 8 тыс. руб.;

для февраля y_ф= (69, 3 + 73, 4 + 66, 5) / 3 = 69, 7 тыс. руб. и т. д.

Для каждого месяца эти значения определены в гр. 6 табл. 3.6.

Таблица 7

Месяц	Уровни, тыс. руб.	Расчетные графы
2001 г.	2002 г.	2003 г.
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	68, 4 69, 3 70, 9 71, 1 64, 3 92, 9 91, 0 71, 3 75, 7 66, 7 63, 1 73, 3	72, 8 73, 4 73, 5 75, 4 63, 2 98, 4 82, 4 65, 0 75, 9 68, 2 63, 8 74, 0	65, 1 66, 5 74, 4 73, 6 67, 2 100, 0 90, 0 72, 6 68, 9 70, 4 66, 3 77, 2	206, 3 209, 2 218, 8 220, 1 194, 7 291, 3 264, 2 211, 9 220, 5 205, 3 193, 2 224, 5	68, 8 69, 7 72, 9 73, 4 64, 9 97, 1 88, 1 70, 6 73, 5 68, 4 64, 4 74, 8	93, 1 94, 3 98, 6 99, 3 87, 8 131, 4 119, 2 95, 5 99, 5 92, 6 87, 1 101, 2
S	881, 0	886, 0	893, 0	2660, 0	73, 9	100, 0

В итоговой строке гр. 6 определен знаменатель формулы в виде общего для всего ряда динамики среднего уровня:

y = (68, 8 + 69, 7+ 72, 9 + 73, 4 + 64, 9 + 97, 4 + 88, 1 + 80, 6 + 73, 5 + 68, 4 + 64, 4 + 74, 8) /12 = 73, 9 тыс. руб.

Этот общий средний уровень и используется в качестве постоянной базы сравнения при определении средних индексов сезонности, которые помещены в гр. 7 табл. 3.6:

I_s = 68, 8 / 73, 9 x 100 = 93, 1%;

I_s = 69, 7 / 73, 9 x 100 = 94, 3% и т. д.

Из гр. 7 видно, что сезонные колебания товарооборота предприятия характеризуются повышением в июне (+31, 4%), июле (+19, 2%) и декабре (+1, 2%) и снижением в других месяцах.

Для большей наглядности сезонных колебаний средние индексы изобразим графически (рис. 3.3).

Вывод:

Сезонность и сезонные колебания вызываются различными причинами. Но как в производстве, так и в обращении сезонные колебания отрицательно сказываются на развитии экономики страны, обуславливают неравномерность использования трудовых ресурсов и оборудования в течение года, а это в свою очередь приводит к понижению производительности труда и повышению себестоимости изготовляемой продукции. Сезонные колебания в одних отраслях экономики вызывают соответствующие колебания в других, иначе говоря, проблема сезонности является общей проблемой экономики Российской Федерации. Неравномерность производства того или иного продукта обуславливает соответствующую неравномерность его потребления, потребление в свою очередь оказывает воздействие на производство. Но не всякая сезонность преодолима и не всякая сезонность требует преодоления. С увеличением и расширением производства товаров, с ростом благосостояния населения сезонность продажи непродовольственных товаров увеличивается, а сезонность продажи и потребления продовольственных товаров снижается. Сезонные колебания, отраженные в рядах динамики, необходимо изучать и измерять для учета определения мероприятий, необходимых для уменьшения (или увеличения) сезонных колебаний.