Волновое уравнение и плоские волны

В случае отсутствия источников в свободном пространстве проделаем простые линейные преобразования с уравнениями (1.5). Для этого применим оператор к левой и правой части уравнения для электрической компоненты поля и воспользуемся выражением для . Получим волновое уравнение для электрического поля [3]:

, (1.21)

(1.22)

Для материальной среды с параметрами волновое уравнение имеет вид:

(1.23)

Решение волнового уравнения в виде плоской волны запишем, как:

. (1.24)

Для подвижной системы координат, движущейся со скоростью волны, траектория движения должна удовлетворять условию:

. (1.25)

Уравнение (1.25) является уравнением плоскости, перпендикулярной в любой момент времени волновому вектору . Эта плоскость называется поверхностью постоянной фазы и перемещается в пространстве со скоростью, называемой фазовой скоростью . Перейдя к комплексным амплитудам в (1.23), получим волновое уравнение:

где - фазовая скорость волны и скорость света в вакууме соответственно.

Решение волнового уравнения для оси представляет собой суперпозицию двух плоских волн:

Здесь комплексная амплитуда сигнала . Таким образом, каждый гармонический источник на оси создает две плоские волны: прямую волну () и обратную- ().

В декартовой системе координат каждый волновой вектор имеет три проекции или три пространственные частоты.

Следует заметить, что в радиотехнике используется временная форма сигнала , в то время как в оптике – пространственная форма сигнала . Ниже приведена пространственно-временная аналогия гармонических сигналов (рис. 1.2).

Рис.1.2. Пространственно- временная аналогия сигналов

Круговая частота и пространственная частота на направление определяются как:

, ,

где - угол между волновым вектором и нормалью к выбранной оси .

Таким образом, пространственная частота на данное направление зависит от длины волны и направления распространения волны к выбранному направлению. Размерность пространственной частоты - см^-1.