Формализм матриц Джонса

Многие сложные двулучепреломляющие оптические системы, такие, как широкоугольные оптические модуляторы и интерференционные фильтры, основаны на прохождении света через последовательность поляризаторов и фазовых пластинок. Для расчета таких оптических систем используют формализм матриц Джонса. В этом случае состояние поляризации задается двукомпонентным вектором, а каждый оптический элемент описывается матрицей 2´ 2. Общая матрица полной системы дается перемножением этих матриц, а состояние поляризации распространяющегося света вычисляется как произведение вектора, определяющего поляризацию входного пучка, на общую матрицу.

Свет, распространяющийся в двулучепреломляющих кристаллах, представляет собой линейную суперпозицию двух независимых волн, каждая из которых характеризуется определенной фазовой скоростью и состоянием поляризации. Наиболее часто используются одноосные двулучепреломляющие кристаллы, такие как кальцит и кварц. В одноосных кристаллах независимые волны представляют собой обыкновенную и необыкновенную волны. Направления поляризации этих волн взаимно ортогональны и называются «медленной» и «быстрой» осями кристалла для данного направления распространения.

Рассмотрим фазовую пластинку, посредством которой возможно преобразование одного состояния поляризации светового пучка в любое другое состояние поляризации (рис.1.5).

Состояние поляризации падающего пучка описывается вектором Джонса , где V_x и V_y – два комплексных числа. Представим световую волну в виде линейной комбинации быстрой и медленной независимых волн кристалла:

, (1.30)

где V_s – медленная составляющая вектора поляризации, а V_f – быстрая составляющая. Из-за различия в фазовых скоростях одна составляющая будет задержана относительно другой. Эта задержка изменяет состояние поляризации входящего пучка. Пусть n_s и n_f – показатели преломления медленной и быстрой составляющих соответственно.

Рис. 1.5. Поляризационная пластина

Тогда состояние поляризации выходящего пучка в кристалле в sf системе дается выражением:

, (1.31)

где l – толщина пластинки, w – частота светового пучка. Фазовая задержка определяется посредством выражения

. (1.32)

Пусть f – среднее абсолютное изменение фазы: . Тогда вектор-столбец (3) можно записать через эти величины следующим образом:

. (1.33)

Вектор Джонса состояния поляризации выходящего пучка в системе xy получается с помощью обратного преобразования из кристаллической системы координат sf:

. (1.34)

Используя (1.30), (1.33) и (1.34), преобразование, осуществляемое задерживающей пластинкой, можно записать в виде:

,

где R(y) – матрица поворота, а W₀ – матрица Джонса для задерживающей пластинки, которые определяются соответственно выражениями:

, (1.35)

и

. (1.35)

Матица Джонса волновой пластинки является унитарной [4].