Волновые пакеты

Решение (1.26) для оптических сигналов в общем виде ищем в виде ряда Фурье:

Здесь определяет элемент объема в k - пространстве, где - пространственные частоты или проекции волнового вектора на выбранные направления .

Лазерный импульс и его Фурье-образ в k -пространстве показаны на рис.1.3. Ограниченность длительности лазерного импульса приводит к существованию конечной полосы частот или полосы длин волн. Линейность уравнений Максвелла позволяет представлять сигналы в виде линейной комбинации плоских волн с различными частотами. Однако, при распространении сигнала с конечным спектром частот (импульса) в диспергирующей среде, в которой фазовая скорость зависит от частоты, возникает ряд особенностей, в частности, увеличение длительности или «уширение» импульса.

Рис. 1.3. Лазерный импульс конечной длительности и его Фурье-спектр

в пространстве волновых чисел

Дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между круговой частотой и волновым вектором для электромагнитного поля, можно записать в виде:

, (1.27)

где величины и считаем вещественными.

Оптический (лазерный) импульс можно охарактеризовать центральной частотой или центральным волновым вектором и шириной полосы или . Рассмотрим эволюцию такого импульса во времени. Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности :

(1.28)

Подставив (1.28) в (1.23) получим:

.

С точностью до общего фазового множителя лазерный импульс распространяется с сохранением своей формы со скоростью:

,

которая называется групповой скоростью импульса. В общем виде, когда плотность энергии лазерного импульса связана с квадратом модуля амплитуды, групповая скорость представляет собой скорость переноса энергии. При этом групповая и фазовая скорости различны, т.е. .

В оптике дисперсионные свойства среды описываются функцией показателя преломления от частоты . Фазовая и групповая скорости в диспергирующей среде записываются как

(1.29)

При нормальной дисперсии () групповая скорость меньше фазовой. В областях аномальной дисперсии величина может быть большой и отрицательной.

Если спектральная ширина импульса равна , то разброс в групповых скоростях имеет величину порядка:

.

При распространении импульса уширение импульса составляет величину .