Уравнения движения

Перейдем к составлению нелинейных уравнений движения отсека оперения длиной dz. На фиг 3 изображены моменты М и перерезывающие силы Q взаимодействия с соседними отсеками. Взаимное влияние руля и стабилизатора представлено реакциями R и Н. Удельная внешняя нагрузка на стабилизатор и руль в направлении осей у ₀ и у обозначена соответственно через р ₀ и р.

Рис. 1.3.3

Будем пользоваться принципом Даламбера и введем в систему сил, действующих на отсек, силы инерции. Полагая и малыми, т.е.

из (1.3.1) получим:

(1.3.2)

Запишем инерционную силу отсека стабилизатора в направлении оси у ₀

отсека руля в направлении оси у ₀

и инерционный момент отсека руля относительно оси шарниров

Здесь и m – погонные массы стабилизатора и руля;

– погонный массовый момент инерции относительно оси шарниров.

Для отсеков стабилизатора и руля можем составить 12 уравнений движения.

1. Сумма проекций на ось у ₀ всех сил, приложенных к отсеку руля

1) (1.3.3)

2. Сумма проекций на ось х ₀ сил, приложенных к отсеку руля,

(1.3.4)

3. Сумма моментов относительно оси z сил, действующих на отсек руля,

M 2) (1.3.5)

4. Сумма проекций на ось у ₀ сил, приложенных к отсеку стабилизатора,

(1.3.6)

Здесь M – погонные нагрузки руля и стабилизатора и погонный момент руля; b ₀ и b – длины хорд стабилизатора и руля.

Часть оставшихся уравнений движения удовлетворится тождественно на основании принятых предположений, из остальных получим соотношения:

(1.3.7)

Выражая R из (1.3.6) и Н из (1.3.4) и учитывая (1.3.2), запишем уравнения (1.3.3) и (1.3.5):

(1.3.8)

M - (1.3.9)

Принимая во внимание, что

получим эти уравнения в перемещениях:

M- (1.3.10)

Здесь А=ЕI_x – нормальная изгибная жесткость руля; В=ЕI_у лобовая изгибная жесткость руля; С=GI _кр – жесткость руля на кручение; – изгибная жесткость стабилизатора.

Исследуем собственные колебания «прощелкивания»(катастрофические колебания) оперения постоянного сечения, для которого уравнения (1.3.10) примут вид:

M –

(1.3.11)

Зададим аналогично [16]

(1.3.12)

Запишем уравнения (1.3.11) коротко

L(y, j) = 0, M (y, j) = 0

и потребуем их приближенного удовлетворения в виде

(1.3.13)

Проведя интегрирование (1.3.13) по частям в общем виде, используя краевые условия

при

при

и (1.3.12), получим:

(1.3.14)

Здесь

Исследуем уравнения (1.3.14), полагая колебания в первом приближении гармоническими с равными частотами изгиба стабилизатора и закручивания руля .

Пусть

(1.3.15)

Здесь и – амплитуды изгиба и закручивания; , l – длина руля.

Применим процедуру Бубнова-Галеркина к уравнениям (1.3.14) [4], [14]. Представив их кратко в виде

запишем равенства:

(1.3.16)

После интегрирования получим:

(1.3.17)

Уравнения (1.3.17) дают зависимость между . На рис 1.3.4 приведены частотно-амплитудные зависимости для различных углов отклонения руля , найденные из первого уравнения (1.3.17) при D=B» A:

Здесь – частота изгибных колебаний оперения, найденная из решения линейной задачи.

Из полученных характеристик (рис. 1.3.4) видно, что оперение с рулем, подвешенным на трех и более шарнирах, имеет вторую устойчивую форму равновесия в области больших прогибов – прогибов после «прощелкивания». Колебания могут происходить около основного положения равновесия, около прощелкнутого и с переходом от одного равновесного состояния к другому – колебания катастрофического изменения формы составного оперения (крыла).

Рис. 1.3.4